Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}{2}^{{\log }_{\sqrt{2}}x}=y^4\\ {\log }_{2}x-{\log }_{2}y=1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}{\left(\sqrt{3}\right)}^{x-y}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-2y}\\ {\log }_2(x+y)+{\log }_2(x-y)=4\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}{x}^{{\log }_{8}y}+y^{{\log }_{8}x}=4\\ {\log }_{4}x-{\log }_{4}y=1\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}{3}^x.2^y=18\\ {\log }_{\frac{1}{3}}(x+y)=-1\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4, giải từng hệ:

a) Điều kiện $x,y>0$. Vì ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x$ nên $2^{{\log }_{\sqrt{2}}x}=2^{2{\log }_{2}x}=x^2$. Phương trình đầu: $x^2=y^4\Rightarrow x=y^2$ (do $x,y>0$). Phương trình hai: ${\log }_2\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=2y$. Suy ra $2y=y^2\Rightarrow y=2$, $x=4$. Nghiệm $(4;2)$.

b) ${\left(\sqrt{3}\right)}^{x-y}=3^{-\left(x-2y\right)}\Rightarrow \frac{x-y}{2}=-x+2y\Rightarrow 3x=5y$. Phương trình hai: ${\log }_2\left[(x+y)(x-y)\right]=4\Rightarrow x^2-y^2=16$. Thay $x=\frac{5y}{3}$: $\frac{25y^2}{9}-y^2=16\Rightarrow \frac{16y^2}{9}=16\Rightarrow y=\pm 3$. Điều kiện $x+y>0,x-y>0$ cho $y=3$, $x=5$. Nghiệm $(5;3)$.

c) Điều kiện $x,y>0$. Từ ${\log }_{4}x-{\log }_{4}y=1\Rightarrow x=4y$. Vì $x^{{\log }_{8}y}=y^{{\log }_{8}x}$ (cùng bằng $e^{\frac{\ln x\ln y}{\ln 8}}$), phương trình đầu thành $2y^{{\log }_{8}x}=4\Rightarrow y^{{\log }_{8}x}=2$. Đặt $t=\ln y$, với ${\log }_{8}x={\log }_{8}y+{\log }_{8}4=\frac{t}{3\ln 2}+\frac{2}{3}$: $e^{t\left(\frac{t}{3\ln 2}+\frac{2}{3}\right)}=2\Rightarrow \frac{t^2}{3\ln 2}+\frac{2t}{3}=\ln 2\Rightarrow t^2+2t\ln 2=3{\ln }^{2}2\Rightarrow t=\ln 2$ hoặc $t=-3\ln 2$. Vậy $y=2,x=8$ hoặc $y=\frac{1}{8},x=\frac{1}{2}$. Nghiệm $(8;2)$ và $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{8}\right)$.

d) ${\log }_{1/3}(x+y)=-1\Rightarrow x+y=3$. Thay $y=3-x$: $3^x{2}^{3-x}=18\Rightarrow 8{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=18\Rightarrow {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\Rightarrow x=2,y=1$. Nghiệm $(2;1)$ (duy nhất vì ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ đơn điệu).

Kiểm tra lại: a) $2^{{\log }_{\sqrt{2}}4}=2^4=16=y^4$, ${\log }_{2}4-{\log }_{2}2=1$ ✓; b) ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$, ${\log }_{2}8+{\log }_{2}2=4$ ✓; c) với $(8;2)$: $8^{1/3}+2^2=2+2=4$ ✓; với $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{8}\right)$: ${\log }_8\frac{1}{8}=-1$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$; ${\log }_8\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$, ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-1/3}=2$; tổng $=4$ ✓, và ${\log }_4\frac{1}{2}-{\log }_4\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$ ✓; d) $9\cdot 2=18$, ${\log }_{1/3}3=-1$ ✓.