Tìm tập $S$ tất cả các giá trị thực của số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-6+m^2\right)\ge 1$ và $x^2+y^2+2x-4y+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ là đường tròn $(C)$: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ tâm $C(-1;2)$, bán kính $2$. Trên $(C)$, đặt $t=x^2+y^2+2$. Từ phương trình: $x^2+y^2=-2x+4y-1$, nên $t=-2x+4y+1$. Giá trị của $-2x+4y$ trên $(C)$ chạy từ $-2(-1)+4(2)\pm 2\sqrt{4+16}=10\pm 4\sqrt{5}$, do đó $t\in [11-4\sqrt{5},11+4\sqrt{5}]$ với $11-4\sqrt{5}\approx 2,06>1$. Vậy cơ số luôn lớn hơn 1, bất phương trình tương đương: $4x+4y-6+m^2\ge x^2+y^2+2$, tức $m^2\ge x^2+y^2-4x-4y+8$. Thay $x^2+y^2=-2x+4y-1$: điều kiện trở thành $m^2\ge 7-6x⟺x\ge \frac{7-m^2}{6}$. Trên đường tròn, tập điểm có hoành độ $x\ge a$: nếu $a<-3$ hoặc $-3<a<1$ thì là cả đường tròn hoặc một cung (vô số điểm); nếu $a=1$ thì duy nhất điểm $x=1$: $(1{)}^2+(y-2{)}^2=4\Rightarrow y=2$, tức điểm $(1;2)$; nếu $a>1$ thì không có điểm. Vậy tồn tại duy nhất cặp $(x;y)$ khi và chỉ khi $\frac{7-m^2}{6}=1⟺m^2=1⟺m=\pm 1$. Kiểm tra: tại $(1;2)$, cơ số $=7$, biểu thức $=4+8-6+1=7$, ${\log }_{7}7=1\ge 1$ thỏa mãn. Vậy $S=\{-1;1\}$.