Giải các hệ phương trình sau (phần tiếp diễn của Bài 2, các mục d) và e); các mục a), b), c) nằm ở trang 6 không được cung cấp trong đợt trang này):

d) $\{\begin{array}{l}{3}^{\lg x}=4^{\lg y}\\ (4x{)}^{\lg 4}=(3y{)}^{\lg 3}\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}2\left({\log }_{\frac{1}{y}}x-2{\log }_{x^2}y\right)+5=0\\ x{y}^2=32\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
d) Đặt $a=\lg x,b=\lg y,p=\lg 3,q=\lg 4$ (điều kiện $x,y>0$). Hai phương trình thành: $ap=bq$ và $q(q+a)=p(p+b)$. Từ phương trình đầu $b=\frac{ap}{q}$, thay vào phương trình hai: $q^2+qa=p^2+\frac{p^{2}a}{q}$, nhân với $q$: $q^3+q^{2}a=p^{2}q+p^{2}a\Rightarrow a(q^2-p^2)=q(p^2-q^2)\Rightarrow a=-q$. Suy ra $\lg x=-\lg 4\Rightarrow x=\frac{1}{4}$, và $b=\frac{ap}{q}=-p\Rightarrow y=\frac{1}{3}$. Thử lại: $3^{\lg (1/4)}=4^{\lg (1/3)}$ (cùng số mũ $-\lg 3\lg 4$) và $(4\cdot \frac{1}{4}{)}^{\lg 4}=(3\cdot \frac{1}{3}{)}^{\lg 3}=1$ ✓. Vậy $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right)$.

e) Điều kiện $x>0,y>0,y\ne 1,x\ne 1$. Đặt $t={\log }_{y}x$. Khi đó ${\log }_{1/y}x=-t$ và ${\log }_{x^2}y=\frac{1}{2t}$ ($t\ne 0$). Phương trình: $2\left(-t-\frac{1}{t}\right)+5=0\Rightarrow 2t^2-5t+2=0\Rightarrow t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$.

Mà $x=y^t$ nên $x{y}^2=y^{t+2}=32=2^5$.

• $t=2$: $y^4=2^5\Rightarrow y=2^{5/4},x=y^2=2^{5/2}$.

• $t=\frac{1}{2}$: $y^{5/2}=2^5\Rightarrow y=4,x=y^{1/2}=2$.

Kiểm tra: với $(2;4)$: ${\log }_{1/4}2=-\frac{1}{2}$, ${\log }_{4}4=1$, $2(-\frac{1}{2}-2)+5=0$ ✓; với $(2^{5/2};2^{5/4})$: ${\log }_{1/y}x=-2$, ${\log }_{x^2}y=\frac{1}{4}$, $2(-2-\frac{1}{2})+5=0$ ✓ và $x{y}^2=32$ ✓.

Vậy hệ e) có hai nghiệm $(x,y)=(2;4)$ và $(x,y)=\left(2^{5/2};2^{5/4}\right)$.