Tìm $m$ để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a) ${\log }_2\left(7x^2+7\right)\ge {\log }_2\left(m{x}^2+4x+m\right)$, $\forall x$.
b) ${\log }_2\left(\sqrt{x^2-2x+m}\right)+4\sqrt{{\log }_2\left(x^2-2x+m\right)}\le 5$, $\forall x\in [0;2]$
c) $1+{\log }_5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)$, $\forall x$.
d) $\left(2-{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{m}{1+m}\right)x^2-2\left(1+{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{m}{1+m}\right)x-2\left(1+{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{m}{1+m}\right)>0$, $\forall x$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: a) Cần $m{x}^2+4x+m\le 7x^2+7$ và $m{x}^2+4x+m>0$ với mọi $x$. Điều kiện thứ nhất: $(7-m)x^2-4x+(7-m)\ge 0\forall x$ cho $7-m\ge 2\Rightarrow m\le 5$. Điều kiện thứ hai: $m>0$ và $16-4m^2<0\Rightarrow m>2$ (với $m=0$ biểu thức $4x$ bằng 0 tại $x=0$, loại). Vậy $2<m\le 5$. Kiểm tra $m=5$: $2(x-1{)}^2\ge 0$ đúng; $m=2$: $2(x+1{)}^2=0$ tại $x=-1$ làm log vô nghĩa, loại. b) Đặt $t={\log }_2(x^2-2x+m)>0$, bất phương trình thành $\frac{t}{2}+4\sqrt{t}\le 5$. Đặt $y=\sqrt{t}$: $y^2+8y-10\le 0\Rightarrow y\le \sqrt{26}-4\Rightarrow t\le (\sqrt{26}-4{)}^2=42-8\sqrt{26}$. Vì $x^2-2x+m=(x-1{)}^2+m-1$, max trên $[0;2]$ tại $x=0$ hoặc $x=2$ bằng $m$, min bằng $m-1$. Cần ${\log }_{2}m\le 42-8\sqrt{26}$ và $m-1>0$: $1<m\le 2^{42-8\sqrt{26}}$. c) Tương tự a): $5x^2+5\ge m{x}^2+4x+m>0\forall x$. Điều kiện thứ nhất: $(5-m)\ge 2\Rightarrow m\le 3$; điều kiện thứ hai: $m>2$. Vậy $2<m\le 3$. d) Đặt $a={\log }_{1/2}\frac{m}{1+m}$ (cần $\frac{m}{1+m}>0$, tức $m>0$ hoặc $m<-1$). Bất phương trình $(2-a)x^2-2(1+a)x-2(1+a)>0\forall x$ yêu cầu $2-a>0$ và $\Delta <0$: $4(1+a{)}^2+8(1+a)(2-a)<0\iff 4(1+a)(5-a)<0\Rightarrow a<-1$ (do $a<2$). Trường hợp $a=2$ suy ra $-6x-6>0$, không đúng với mọi $x$, loại. Vậy $a<-1\iff \frac{m}{1+m}>2\Rightarrow m<-2$ (thỏa miền xác định). Kết luận: a) $2<m\le 5$; b) $1<m\le 2^{42-8\sqrt{26}}$; c) $2<m\le 3$; d) $m<-2$.