Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) $2^x<3^{\frac{x}{2}}+1$
b) $\frac{2^{1-x}-2^x+1}{2^x-1}\le 0$
c) $\frac{2.3^x-2^{x+2}}{3^x-2^x}\le 1$
d) $3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}>13$
e) $\frac{3^{2-x}+3-2x}{4^x-2}\ge 0$
f) $\frac{3^x+x-4}{x^2-x-6}>0$
g) $\sqrt{-3x^2-5x+2}+2x>3^x.2x\sqrt{-3x^2-5x+2}+{\left(2x\right)}^2{3}^x$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (AI giải đề cho tôi):

a) $2^x<3^{x/2}+1$. Đặt $f(x)=2^x-(\sqrt{3}{)}^x-1$, $f(2)=4-3-1=0$. $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2-(\sqrt{3}{)}^x\ln \sqrt{3}$ có đúng một nghiệm $x\approx -1,62$ (vì $2^x\ln 2=(\sqrt{3}{)}^x\ln \sqrt{3}\iff (2/\sqrt{3}{)}^x=\ln \sqrt{3}/\ln 2$), nên $f$ giảm rồi tăng, có duy nhất một nghiệm $x=2$; $f(0)=-1<0$. Vậy $f(x)<0\iff x<2$: $S=(-\infty ;2)$.

b) Đặt $t=2^x>0$: $\frac{2^{1-x}-2^x+1}{2^x-1}=\frac{2-t^2+t}{t(t-1)}=\frac{-(t-2)(t+1)}{t(t-1)}$. Vì $t+1>0$, BPT $\le 0\iff \frac{t-2}{t-1}\ge 0\iff t<1$ hoặc $t\ge 2$. Vậy $S=(-\infty ;0)\cup [1;+\infty )$.

c) $\frac{2\cdot 3^x-2^{x+2}}{3^x-2^x}-1=\frac{3^x-3\cdot 2^x}{3^x-2^x}=\frac{(3/2{)}^x-3}{(3/2{)}^x-1}\le 0\iff 1<(3/2{)}^x\le 3\iff 0<x\le {\log }_{3/2}3$. Vậy $S=\left(0;{\log }_{\frac{3}{2}}3\right]$.

d) $g(x)=3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}$ đồng biến trên $[-2;+\infty )$ (hàm hợp các hàm đồng biến), $g(0)=9+4=13$. Vậy $g(x)>13\iff x>0$: $S=(0;+\infty )$.

e) Tử $u(x)=3^{2-x}+3-2x$ có $u^{\prime }(x)=-3^{2-x}\ln 3-2<0$ nên nghịch biến, $u(2)=0$: $u\ge 0\iff x\le 2$. Mẫu $4^x-2>0\iff x>\frac{1}{2}$. Trường hợp $u\le 0$ và mẫu $<0$ vô nghiệm. Vậy $S=\left(\frac{1}{2};2\right]$.

f) Tử $3^x+x-4$ đồng biến ($3^x\ln 3+1>0$), bằng 0 tại $x=1$. Mẫu $(x+2)(x-3)$. Cùng dấu: $x>3$ hoặc $-2<x<1$. Vậy $S=(-2;1)\cup (3;+\infty )$.

g) Điều kiện $-3x^2-5x+2\ge 0\iff x\in [-2;\frac{1}{3}]$. VT $-$ PT $=\sqrt{-3x^2-5x+2}(1-2x\cdot 3^x)+2x(1-2x\cdot 3^x)=(1-2x\cdot 3^x)\left(\sqrt{-3x^2-5x+2}+2x\right)$. Với $x<0$: $2x\cdot 3^x<0$; với $x\in [0;\frac{1}{3}]$: $x{3}^x$ đồng biến nên $2x\cdot 3^x\le \frac{2}{3}\cdot 3^{1/3}\approx 0,92<1$. Vậy $1-2x\cdot 3^x>0$ trên miền, do đó cần $\sqrt{-3x^2-5x+2}>-2x$. Với $x\ge 0$ luôn đúng; với $x<0$ bình phương: $-3x^2-5x+2>4x^2\iff 7x^2+5x-2<0\iff -1<x<\frac{2}{7}$, kết hợp $x<0$ được $-1<x<0$. Vậy $S=(-1;\frac{1}{3}]$. Kiểm tra: $x=\frac{1}{3}$: VT $=\frac{2}{3}$, PT $=\frac{4}{9}\cdot 3^{1/3}\approx 0,64$ (thỏa); $x=-1$: $\sqrt{4}-2=0$ không thỏa (loại).