Tìm $m$ để các phương trình sau:
a) ${\log }_2\left(4^x-m\right)=x+1$ có 2 nghiệm phân biệt.
b) ${\log }_3^{2}x-(m+2).{\log }_{3}x+3m-1=0$ có 2 nghiệm $x_1$, $x_2$ thoả $x_1.x_2=27$.
c) $2{\log }_4\left(2x^2-x+2m-4m^2\right)={\log }_2\left(x^2+mx-2m^2\right)$ có 2 nghiệm $x_1$, $x_2$ thoả $x_1^2+x_2^2>1$.
d) ${\log }_3^{2}x+\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[1;3^{\sqrt{3}}\right]$.
e) $4{\left({\log }_2\sqrt{x}\right)}^2+{\log }_{2}x+m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10.

a) ĐK: $4^x-m>0$. Đặt $t=2^x>0$, phương trình tương đương $t^2-2t-m=0$ (vì $4^x-m=2^{x+1}\iff t^2-m=2t$). Khi đó $4^x-m=2^{x+1}>0$ tự động thỏa. Hai nghiệm phân biệt của $t$: $t=1\pm \sqrt{1+m}$, cần cả hai dương: $1-\sqrt{1+m}>0\iff m<0$, và phân biệt: $m>-1$. Vậy $-1<m<0$.

b) Đặt $t={\log }_{3}x$: $t^2-(m+2)t+3m-1=0$. $x_1{x}_2=27\iff t_1+t_2=3$. Theo Vi-ét $t_1+t_2=m+2=3\Rightarrow m=1$. Thử: $t^2-3t+2=0\Rightarrow t=1;2$ phân biệt $\Rightarrow x=3;9$, $x_1{x}_2=27$ đúng. Vậy $m=1$.

c) VT $={\log }_2(2x^2-x+2m-4m^2)$, nên $2x^2-x+2m-4m^2=x^2+mx-2m^2\iff x^2-(m+1)x+2m-2m^2=0$. Delta: $(m+1{)}^2-4(2m-2m^2)=(3m-1{)}^2$, hai nghiệm phân biệt cần $m\ne \frac{1}{3}$. Nghiệm: $x=1-m$ và $x=2m$. Tổng $S=m+1$, tích $P=2m-2m^2$, nên $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=5m^2-2m+1>1\iff m<0$ hoặc $m>\frac{2}{5}$.
Điều kiện logarit: tại nghiệm, hai vế trong bằng nhau và bằng $f(x)=x^2+mx-2m^2=(2m+1)x-2m$, cần $f>0$ tại cả hai nghiệm $1-m$ và $2m$.
• Với $m>\frac{2}{5}$: cần $f(1-m)>0\iff (1-m)(2m+1)>2m\iff 2m^2+m-1<0\iff -1<m<\frac{1}{2}$, kết hợp $m>\frac{2}{5}$: $\frac{2}{5}<m<\frac{1}{2}$.
• Với $m<0$, $m\ne -\frac{1}{2}$: nếu $2m+1>0$ cần $1-m>\frac{2m}{2m+1}$ cho cùng bất phương trình $-1<m<\frac{1}{2}$, kết hợp $m<0$: $-\frac{1}{2}<m<0$; nếu $2m+1<0$ cần $(1-m)(2m+1)>2m\iff 2m^2+3m-1<0\iff \frac{-3-\sqrt{17}}{4}<m<\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$, kết hợp $m<-\frac{1}{2}$: $\frac{-3-\sqrt{17}}{4}<m<-\frac{1}{2}$.
• $m=-\frac{1}{2}$: $f(x)=1>0$ luôn đúng, và $5m^2-2m+1=\frac{13}{4}>1$, thỏa.
Vậy $m\in \left(\frac{-3-\sqrt{17}}{4};0\right)\cup \left(\frac{2}{5};\frac{1}{2}\right)$.

d) Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình $t^2+\sqrt{t^2+1}=2m+1$. VT là hàm chẵn, tăng theo $|t|$, giá trị tại $t=0$ bằng $1$. Đoạn $x\in [1;3^{\sqrt{3}}]$ tương ứng $t\in [0;\sqrt{3}]$; trên $[0;\sqrt{3}]$ hàm $g(t)=t^2+\sqrt{t^2+1}$ tăng từ $g(0)=1$ đến $g(\sqrt{3})=3+2=5$. Có nghiệm trong đoạn $\iff 1\le 2m+1\le 5\iff 0\le m\le 2$.

e) Đặt $t={\log }_{2}x$; ${\log }_2\sqrt{x}=\frac{t}{2}$ nên $t^2+t+m=0$. Cần nghiệm $t<0$ (tức $x\in (0;1)$). Phương trình có thực khi $m\le \frac{1}{4}$; khi đó hai nghiệm có tổng $-1<0$ nên luôn có ít nhất một nghiệm âm. Vậy $m\le \frac{1}{4}$.