Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) $x+x^{{\log }_{2}3}=x^{{\log }_{2}5}$ $(x>0)$

b) $x^2+3^{{\log }_{2}x}=5^{{\log }_{2}x}$

c) ${\log }_5(x+3)=3-x$

d) ${\log }_2(3-x)=x$

e) ${\log }_2(x^2-x-6)+x={\log }_2(x+2)+4$

f) $x+2.3^{{\log }_{2}x}=3$

g) $4(x-2)\left[{\log }_2(x-3)+{\log }_3(x-2)\right]=15(x+1)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6 (dùng tính đơn điệu, đặt $t={\log }_{2}x$ khi cần):

a) Với $x>0$, đặt $t={\log }_{2}x$ thì $x=2^t$, $x^{{\log }_{2}3}=3^t$, $x^{{\log }_{2}5}=5^t$. Phương trình thành $2^t+3^t=5^t$, tức $f(t)=5^t-3^t-2^t=0$. Thử $t=1$: $5-3-2=0$. Xét $f(t)<0$ với mọi $t<1$ (với $t\le 0$: $5^t\le 3^t$ nên $f(t)\le -2^t<0$; với $0<t<1$: $5^t<2^t+3^t$ vì hàm $u^t$ là lồi... kiểm tra trực tiếp $f$ chỉ cắt trục tại $t=1$). Vậy $t=1\Rightarrow x=2$.

b) Đặt $t={\log }_{2}x$, $x^2=4^t$: $4^t+3^t=5^t$. Tương tự câu a, nghiệm duy nhất $t=1\Rightarrow x=2$ (thử: $4+3=5$).

c) ${\log }_5(x+3)=3-x$, điều kiện $x>-3$. Xét $f(x)={\log }_5(x+3)+x-3$ đồng biến trên $(-3;+\infty )$ (đạo hàm $\frac{1}{(x+3)\ln 5}+1>0$). Thử $x=2$: ${\log }_{5}5=1=3-2$. Vậy $x=2$ (nghiệm duy nhất).

d) ${\log }_2(3-x)=x$, điều kiện $x<3$. VT nghịch biến, VP đồng biến nên nghiệm duy nhất. Thử $x=1$: ${\log }_{2}2=1$. Vậy $x=1$.

e) Điều kiện: $x^2-x-6>0$ và $x+2>0\Rightarrow x>3$. Trừ vế: ${\log }_2\frac{x^2-x-6}{x+2}=4-x$. Vì $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3$ nên ${\log }_2(x-3)=4-x$, tức $f(x)={\log }_2(x-3)+x-4=0$ với $x>3$; $f$ đồng biến nên nghiệm duy nhất. Thử $x=4$: ${\log }_{2}1+4-4=0$. Vậy $x=4$.

f) Đặt $t={\log }_{2}x$: $2^t+2\cdot 3^t=3$. Hàm $g(t)=2^t+2\cdot 3^t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên nghiệm duy nhất; thử $t=0$: $1+2=3$. Vậy $x=1$.

g) Điều kiện $x>3$. Xét $f(x)=4(x-2)\left[{\log }_2(x-3)+{\log }_3(x-2)\right]-15(x+1)$. Thử $x=11$: $4\cdot 9\left[{\log }_{2}8+{\log }_{3}9\right]=36(3+2)=180=15\cdot 12$. Vậy $x=11$ thỏa mãn. $f(3^{+})\to -\infty$ và $f$ đồng biến trên $(3;+\infty )$ (các số hạng tăng nhanh hơn số hạng tuyến tính $-15x$), nên nghiệm duy nhất $x=11$.