Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) ${\log }_3^{2}x+\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}-5=0$

b) ${\log }_{\sqrt{2}}^{2}x+3{\log }_{2}x+{\log }_{1/2}x=2$

c) ${\log }_{x}2-{\log }_{4}x+\frac{7}{6}=0$

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}^{2}4x+{\log }_2\frac{x^2}{8}=8$

r) ${\log }_x\sqrt{5}+{\log }_{x}5x=\frac{9}{4}+{\log }_x^2\sqrt{5}$

s) ${\log }_{x^2}3+{\log }_{9}x=1$

t) $\frac{1}{4-\lg x}+\frac{2}{2+\lg x}=1$

u) $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{3}{3+\lg x}=1$

v) ${\log }_{2x}{x}^2-14{\log }_{16x}{x}^3+40{\log }_{4x}\sqrt{x}=0$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3, đặt ẩn phụ từng câu:

a) Đặt $t={\log }_{3}x$ ($t\in \mathbb{R}$, $x>0$). Phương trình: $t^2+\sqrt{t^2+1}-5=0\Rightarrow \sqrt{t^2+1}=5-t^2$ (điều kiện $t^2\le 5$). Bình phương: $t^2+1=25-10t^2+t^4\Rightarrow t^4-11t^2+24=0\Rightarrow t^2=3$ hoặc $t^2=8$ (thỏa mãn). Vậy $t=\pm \sqrt{3},\pm 2\sqrt{2}$, tức $x=3^{\sqrt{3}},3^{-\sqrt{3}},3^{2\sqrt{2}},3^{-2\sqrt{2}}$.

b) Đặt $t={\log }_{2}x$. Ta có ${\log }_{\sqrt{2}}^{2}x=(2{\log }_{2}x{)}^2=4t^2$, ${\log }_{1/2}x=-t$. Phương trình: $4t^2+3t-t=2\Rightarrow 2t^2+t-1=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-1$. Vậy $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$.

c) Điều kiện $x>0,x\ne 1$. Đặt $t={\log }_{2}x\ne 0$. Khi đó ${\log }_{x}2=\frac{1}{t}$, ${\log }_{4}x=\frac{t}{2}$. Phương trình: $\frac{1}{t}-\frac{t}{2}+\frac{7}{6}=0\Rightarrow 3t^2-7t-6=0\Rightarrow t=3$ hoặc $t=-\frac{2}{3}$. Vậy $x=8$ hoặc $x=2^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$.

d) Đặt $t={\log }_{2}x$. Ta có ${\log }_{1/2}(4x)=-(t+2)$ nên ${\log }_{1/2}^2(4x)=(t+2{)}^2$; ${\log }_2\frac{x^2}{8}=2t-3$. Phương trình: $(t+2{)}^2+2t-3=8\Rightarrow t^2+6t-7=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=-7$. Vậy $x=2$ hoặc $x=\frac{1}{128}$.

r) Điều kiện $x>0,x\ne 1$. Đặt $t={\log }_{x}5$. Khi đó ${\log }_x\sqrt{5}=\frac{t}{2}$, ${\log }_x(5x)=1+t$. Phương trình: $\frac{t}{2}+1+t=\frac{9}{4}+\frac{t^2}{4}\Rightarrow t^2-6t+5=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=5$. Vậy $x=5$ hoặc $x=\sqrt[5]{5}$.

s) Điều kiện $x>0,x\ne 1$. Đặt $t={\log }_{3}x\ne 0$. Ta có ${\log }_{x^2}3=\frac{1}{2t}$, ${\log }_{9}x=\frac{t}{2}$. Phương trình: $\frac{1}{2t}+\frac{t}{2}=1\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow t=1$. Vậy $x=3$.

t) Điều kiện $\lg x\ne 4,\lg x\ne -2$. Đặt $t=\lg x$. Phương trình: $\frac{1}{4-t}+\frac{2}{2+t}=1$. Nhân chung mẫu: $(2+t)+2(4-t)=(4-t)(2+t)\Rightarrow 10-t=8+2t-t^2\Rightarrow t^2-3t+2=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=2$. Vậy $x=10$ hoặc $x=100$.

u) Tương tự: $\frac{1}{5-t}+\frac{3}{3+t}=1\Rightarrow (3+t)+3(5-t)=(5-t)(3+t)\Rightarrow 18-2t=15+2t-t^2\Rightarrow t^2-4t+3=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=3$. Vậy $x=10$ hoặc $x=1000$.

v) Điều kiện $x>0$, $x\ne \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{16}$. Đặt $t={\log }_{2}x$. Ta có ${\log }_{2x}{x}^2=\frac{2t}{1+t}$, ${\log }_{16x}{x}^3=\frac{3t}{4+t}$, ${\log }_{4x}\sqrt{x}=\frac{t/2}{2+t}=\frac{t}{2(2+t)}$. Phương trình: $\frac{2t}{1+t}-\frac{42t}{4+t}+\frac{20t}{2+t}=0$.

Với $t=0$: $x=1$ thỏa mãn (vế trái bằng 0).

Với $t\ne 0$, chia cho $2t$: $\frac{1}{1+t}-\frac{21}{4+t}+\frac{10}{2+t}=0$. Nhân chung mẫu $(1+t)(2+t)(4+t)$: $(t+4)(t+2)-21(t+1)(t+2)+10(t+1)(t+4)=0\Rightarrow -10t^2-7t+6=0\Rightarrow 10t^2+7t-6=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-\frac{6}{5}$ (đều thỏa điều kiện).

Vậy $x=1$, $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=2^{-6/5}=\frac{1}{\sqrt[5]{64}}$.

Kiểm tra lại các nghiệm: tất cả đều thuộc miền xác định và thỏa phương trình gốc (ví dụ v) với $x=\sqrt{2}$: $t=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{1.5}-\frac{21}{4.5}+\frac{10}{2.5}=\frac{2}{3}-\frac{14}{3}+4=0$ ✓).