Tìm $m$ để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) $m.2^x+2^{-x}-5=0$

b) $m.16^x+2.81^x=5.36^x$

c) ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^x+m{\left(\sqrt{5}-1\right)}^x=2^x$

d) ${\left(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)}^x+m{\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)}^x=8$

e) $4^x-2^{x+3}+3=m$

f) $9^x+m{3}^x+1=0$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt ẩn phụ t>0 và xét số nghiệm dương của phương trình theo t (mỗi t>0 cho đúng một x).

a) t=2^x: m t²−5t+1=0. Nếu m<0 thì hệ số tích 1/m<0 nên hai nghiệm trái dấu → đúng một nghiệm dương. m=0: 2^{-x}=5 → nghiệm duy nhất. Với m>0: hai nghiệm dương khi Δ>0 (cho 2 nghiệm x), do đó cần Δ=0 ⇔ m=25/4 (nghiệm kép t=2/5). Kết luận: m<0 hoặc m=25/4.

b) Chia hai vế cho 36^x, đặt u=(4/9)^x>0: m u+2/u=5 ⇔ m u²−5u+2=0. Tương tự câu a: m<0 cho đúng một nghiệm dương; m=0 cho u=2/5 duy nhất; Δ=0 ⇔ m=25/8 (u=4/5). Kết luận: m<0 hoặc m=25/8.

c) Chia hai vế cho 2^x, chú ý ((√5+1)/2)·((√5−1)/2)=1. Đặt a=(√5+1)/2>1, t=a^x>0: t+m/t=1 ⇔ t²−t+m=0. m<0: tích âm → một nghiệm dương. m=0: t=1 duy nhất. 0<m<1/4: hai nghiệm dương → loại. m=1/4: nghiệm kép t=1/2 duy nhất. m>1/4: vô nghiệm. Kết luận: m≤0 hoặc m=1/4.

d) Hai cơ số ((7±3√5)/2) có tích bằng 1, đặt a=(7+3√5)/2>1, t=a^x>0: t²−8t+m=0. m<0: một nghiệm dương; m=0: t=8 duy nhất; 0<m<16: hai nghiệm dương; m=16: nghiệm kép t=4 duy nhất; m>16: vô nghiệm. Kết luận: m≤0 hoặc m=16.

e) t=2^x>0: m=t²−8t+3=f(t). f giảm trên (0;4), tăng trên (4;+∞), f(0)=3, min f=f(4)=−13. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m=−13 (nghiệm kép t=4) hoặc m≥3 (một nghiệm âm bị loại, một nghiệm dương; riêng m=3 cho t=8). Kết luận: m=−13 hoặc m≥3.

f) t=3^x>0: t²+m t+1=0, tích hai nghiệm bằng 1. m≥0: không có nghiệm dương. m<0: tổng −m>0, tích 1>0 nên nếu Δ=m²−4≥0 thì hai nghiệm đều dương → hai nghiệm x; chỉ khi Δ=0, tức m=−2, có nghiệm kép t=1 duy nhất. Kết luận: m=−2.