Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a) ${\log }_{7}x={\log }_3(\sqrt{x}+2)$

b) ${\log }_2(x-3)+{\log }_3(x-2)=2$

c) ${\log }_3(x+1)+{\log }_5(2x+1)=2$

d) ${\log }_2\left(x+3^{{\log }_{6}x}\right)={\log }_{6}x$

e) $4^{{\log }_2(x+3)}=x$

f) ${\log }_2\left(1+\sqrt{x}\right)={\log }_{3}x$

g) $x^{{\log }_{2}9}=x^2.3^{{\log }_{2}x}-x^{{\log }_{2}3}$

h) ${\log }_{3x+7}(9+12x+4x^2)+{\log }_{2x+3}(6x^2+23x+21)=4$

i) ${\log }_2\left(x-\sqrt{x^2-1}\right).{\log }_3\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)={\log }_6\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5 (đặt ẩn phụ), giải từng phương trình:

a) Đặt $t=\sqrt{x}>0$: ${\log }_7{t}^2={\log }_3(t+2)$. Thử $t=7$: ${\log }_{7}49=2={\log }_{3}9$. Xét $f(t)=\frac{2\ln t}{\ln 7}-\frac{\ln (t+2)}{\ln 3}$, hàm đơn điệu (cân xét kỹ trên các khoảng), nghiệm duy nhất $t=7$ → $x=49$.

b) ĐK $x>3$. Đặt $t={\log }_2(x-3)$ thì ${\log }_3(x-2)={\log }_3(2^t+1)$. Phương trình $t+{\log }_3(2^t+1)=2$ có $t=1$ (vì $1+1=2$); vế trái đồng biến theo $t$ nên nghiệm duy nhất $x-3=2$ → $x=5$.

c) ĐK $x>-\frac{1}{2}$. Nhận thấy $x=2$: ${\log }_{3}3+{\log }_{5}5=1+1=2$. Vế trái đồng biến theo $x$ trên miền xác định nên nghiệm duy nhất $x=2$.

d) Đặt $t={\log }_{6}x$ ($x=6^t>0$): ${\log }_2(6^t+3^t)=t\iff 6^t+3^t=2^t$. Chia $2^t$: $3^t+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t=1$, vế trái nghịch biến nên nghiệm duy nhất; $t=-1$ thỏa ($\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$) → $x=6^{-1}=\frac{1}{6}$.

e) Với $x>0$: $4^{{\log }_2(x+3)}=2^{2{\log }_2(x+3)}=(x+3{)}^2$. Phương trình $(x+3{)}^2=x\iff x^2+5x+9=0$, $\Delta =25-36<0$ → vô nghiệm.

f) Đặt $t=\sqrt{x}>0$: ${\log }_2(1+t)=2{\log }_{3}t$. $t=3$: ${\log }_{2}4=2=2{\log }_{3}3$. Xét $f(t)={\log }_2(1+t)-2{\log }_{3}t$, $f^{\prime }(t)=\frac{1}{(1+t)\ln 2}-\frac{2}{t\ln 3}<0$ với mọi $t>0$ (vì $t\ln 3<2(1+t)\ln 2$ vô nghiệm dương), nên nghiệm duy nhất $t=3$ → $x=9$.

g) ĐK $x>0$. Vì $x^{{\log }_{2}9}=3^{2{\log }_{2}x}$, $x^{{\log }_{2}3}=3^{{\log }_{2}x}$, đặt $u=3^{{\log }_{2}x}>0$: $u^2=x^{2}u-u\Rightarrow u=x^2-1$ (do $u>0$). Vậy $x^{{\log }_{2}3}=x^2-1$. Xét $g(x)=x^{{\log }_{2}3}-x^2+1$: $g$ tăng đến max tại $x\approx 0,078$ với $g>0$, rồi giảm; $g(2)=2^{{\log }_{2}3}-3=3-3=0$. Nghiệm duy nhất $x=2$ ($x=1$ loại vì khi đó $u=0$).

h) ĐK: $x>-\frac{3}{2}$, $x\ne -2,-1$. Nhận xét: $9+12x+4x^2=(2x+3{)}^2$, $6x^2+23x+21=(2x+3)(3x+7)$. Đặt $a={\log }_{3x+7}(2x+3)$: $2a+1+\frac{1}{a}=4\iff 2a^2-3a+1=0\iff a=1$ hoặc $a=\frac{1}{2}$.
- $a=1$: $2x+3=3x+7\Rightarrow x=-4$ (loại).
- $a=\frac{1}{2}$: $(2x+3{)}^2=3x+7$. Đặt $y=2x+3>0$: $y^2=\frac{3y+5}{2}\iff 2y^2-3y-5=0\Rightarrow y=\frac{5}{2}$ → $x=-\frac{1}{4}$ (thỏa ĐK). Vậy $x=-\frac{1}{4}$.

i) ĐK $x\ge 1$. Vì $(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})=1$, đặt $u=x-\sqrt{x^2-1}$ thì $x+\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{u}$, $0<u\le 1$. Phương trình: ${\log }_{2}u\cdot {\log }_3\frac{1}{u}={\log }_{6}u$. Đặt $b={\log }_{2}u$: $-\frac{b^2}{{\log }_{2}3}=\frac{b}{{\log }_{2}6}\Rightarrow b=0$ hoặc $b=-{\log }_{6}3$.
- $b=0$: $u=1\Rightarrow x=1$.
- $b=-{\log }_{6}3$: $u=6^{-{\log }_{6}3}=\frac{1}{3}\Rightarrow x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{3}\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=x-\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{2}{3}x=\frac{10}{9}\Rightarrow x=\frac{5}{3}$ (thử lại: $\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$ đúng).
Vậy $S=\left\{1;\frac{5}{3}\right\}$.