Cho hàm số $y=f(x)$ thoả mãn $2020^{f(x)}=x+\sqrt{x^2+2020},\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thoả mãn $f\left(\log m\right)<f\left({\log }_{m}2020\right)$?

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2020^{f(x)}=x+\sqrt{x^2+2020}$ ta có $f(x)={\log }_{2020}\left(x+\sqrt{x^2+2020}\right)$. Vì $\left(x+\sqrt{x^2+2020}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2020}\right)=2020$ nên $f(-x)=1-f(x)$, và do $x+\sqrt{x^2+2020}$ đồng biến, $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, $f(0)=\frac{1}{2}$.

Đặt $c={\log }_{2020}m$ ($m>0$, $m\ne 1$). Khi đó $\log m=c\cdot {\log }_{2020}^{-1}$... cụ thể $\log m=\frac{\ln m}{\ln 10}=c\cdot L$ với $L={\log }_{10}2020\approx 3,305$; và ${\log }_{m}2020=\frac{1}{c}$.

Vì $f$ đồng biến: $f(\log m)<f({\log }_{m}2020)⟺cL<\frac{1}{c}$.
- Nếu $c>0$: $c^2<\frac{1}{L}⟺c<\frac{1}{\sqrt{L}}\approx 0,550⟺1<m<2020^{0,550}\approx 65,7$, cho $m\in \{2,\dots ,65\}$: 64 giá trị.
- Nếu $c<0$: $c^2>\frac{1}{L}⟺|c|>0,550⟺0<m<2020^{-0,550}\approx 0,015$: không có số nguyên $m$.

Vậy có 64 số nguyên $m$ thoả mãn.