Tìm $m$ để các bất phương trình sau có nghiệm:
a) ${\log }_{1/2}\left(x^2-2x+m\right)>-3$
b) ${\log }_{x}100-\frac{1}{2}{\log }_{m}100>0$
c) $\frac{1}{5-{\log }_{m}x}+\frac{2}{1+{\log }_{m}x}<1$
d) $\frac{1+{\log }_m^{2}x}{1+{\log }_{m}x}>1$
e) $\sqrt{{\log }_{2}x+m}>{\log }_{2}x$
f) ${\log }_{x-m}\left(x^2-1\right)>{\log }_{x-m}\left(x^2+x-2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Tìm $m$ để bất phương trình có nghiệm.

a) ${\log }_{1/2}(x^2-2x+m)>-3⟺0<x^2-2x+m<8$. Đặt $f(x)=x^2-2x+m$, $\min f=m-1$. Miền $f<8$ có nghiệm $⟺m-1<8⟺m<9$; với $m<9$ luôn có $x$ để $f(x)>0$ (vì $f\to +\infty$). Vậy $m<9$.

b) Điều kiện: $x>0,x\ne 1,m>0,m\ne 1$. BPT $⟺\frac{2}{\lg x}>\frac{1}{\lg m}$. Nếu $m>1$: chọn $x>1$ với $\lg x$ dương nhỏ thì $2/\lg x$ lớn, thỏa. Nếu $0<m<1$ ($\lg m<0$): nhân với $\lg x\cdot \lg m>0$ (chọn $0<x<1$) được $2\lg m<\lg x$, luôn chọn được $\lg x<0$ đủ nhỏ. Vậy $0<m<1$ hoặc $m>1$.

c) Đặt $t={\log }_{m}x$ (khi $m>0,m\ne 1$ thì $t$ chạy khắp $\mathbb{R}$), $t\ne 5,t\ne -1$. BPT $⟺\frac{11}{(5-t)(1+t)}<1$. Chọn $t=6$: $(5-6)(7)=-7<0$, khi đó $\frac{11}{-7}<1$ đúng. Vậy với mọi $m>0,m\ne 1$ BPT luôn có nghiệm.

d) Đặt $t={\log }_{m}x$, $t\ne -1$: $\frac{1+t^2}{1+t}>1⟺\frac{t(t-1)}{t+1}>0⟺t\in (-1;0)\cup (1;+\infty )$, luôn có nghiệm. Vậy $m>0,m\ne 1$.

e) Đặt $t={\log }_{2}x\in \mathbb{R}$, cần $t+m\ge 0$ và $\sqrt{t+m}>t$. Nếu $m>0$: chọn $t=-m/2$, khi đó $\sqrt{m/2}>-m/2$ đúng. Nếu $m=-a\le 0$: cần $t\ge a$ và $\sqrt{t-a}>t⟺t^2-t+a<0$ (vì $t\ge 0$). Có nghiệm $⟺1-4a\ge 0$ và khoảng nghiệm chứa giá trị $t\ge a$; kiểm tra $\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}\ge a⟺1-4a\le (1-2a{)}^2$ (luôn đúng với $a\le 1/4$). Với $a=1/4$ ($m=-1/4$): $(t-1/2{)}^2<0$ vô nghiệm nên loại. Vậy $m>-frac14$.

f) Điều kiện: $x-m>0,x-m\ne 1$; $x^2-1>0$; $x^2+x-2=(x+2)(x-1)>0\Rightarrow x<-2$ hoặc $x>1$. So sánh: $x^2-1$ và $x^2+x-2$ khác nhau $1-x$.
• Với $x>1$: $x^2-1<x^2+x-2$, cần $0<x-m<1⟺x-1<m<x$. Tồn tại $x>1$ thỏa $⟺m>0$.
• Với $x<-2$: $x^2-1>x^2+x-2$, cần $x-m>1⟺m<x-1<-3$. Tồn tại $x<-2$ với $x>m+1$ $⟺m<-3$.
Vậy $m<-3$ hoặc $m>0$.