Giải bất phương trình, biết $x=a$ là một nghiệm của bất phương trình:
a) ${\log }_m\left(x^2-x-2\right)>{\log }_m\left(-x^2+2x+3\right)$; $a=9/4$.
b) ${\log }_m\left(2x^2+x+3\right)\le {\log }_m\left(3x^2-x\right)$; $a=1$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: dùng điều kiện x=a là nghiệm để suy ra cơ số m, rồi giải bất phương trình với m tìm được.

a) Thay x=9/4: x²−x−2 = 81/16 − 36/16 − 32/16 = 13/16 > 0; −x²+2x+3 = −81/16 + 72/16 + 48/16 = 39/16 > 0. Bất phương trình thành log_m(13/16) > log_m(39/16). Vì 13/16 < 39/16 mà log vẫn lớn hơn nên log_m nghịch biến, suy ra 0 < m < 1.

Với 0<m<1: điều kiện xác định là x²−x−2>0 (x<−1 hoặc x>2) và −x²+2x+3>0 (−1<x<3), giao: 2<x<3. Khi đó bất phương trình đảo chiều: x²−x−2 < −x²+2x+3 ⟺ 2x²−3x−5 < 0 ⟺ (2x−5)(x+1) < 0 ⟺ −1 < x < 5/2. Kết hợp: 2 < x < 5/2. Tập nghiệm S = (2; 5/2).

b) Thay x=1: 2x²+x+3 = 6 > 0; 3x²−x = 2 > 0. Bất phương trình: log_m 6 ≤ log_m 2. Vì 6 > 2, để bất đẳng thức đúng cần log_m nghịch biến, tức 0 < m < 1.

Với 0<m<1: điều kiện 3x²−x > 0 ⟺ x(3x−1) > 0 ⟺ x < 0 hoặc x > 1/4 (vế 2x²+x+3 luôn dương vì Δ = 1−24 < 0). Bất phương trình đảo chiều: 2x²+x+3 ≥ 3x²−x ⟺ x²−2x−3 ≤ 0 ⟺ (x−3)(x+1) ≤ 0 ⟺ −1 ≤ x ≤ 3. Kết hợp với điều kiện: −1 ≤ x < 0 hoặc 1/4 < x ≤ 3. Tập nghiệm S = [−1; 0) ∪ (1/4; 3].

Kiểm tra: a) x=9/4 ∈ (2; 5/2) ✓; b) x=1 ∈ (1/4; 3] ✓.