Tìm $m$ để các bất phương trình sau có nghiệm:
a) $4^x-m.2^x+m+3\le 0$
b) $9^x-m.3^x+m+3\le 0$
c) $\sqrt{2^x+7}+\sqrt{2^x-2}\le m$
d) ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x^2}+{\left(\sqrt{2}-1\right)}^{x^2-1}+m=0$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Tìm $m$ để bất phương trình có nghiệm.

a) Đặt $t=2^x>0$, bất phương trình thành $f(t)=t^2-mt+m+3\le 0$. Cần tồn tại $t>0$ với $f(t)\le 0$.
- Nếu $m>0$: $\min f=f\left(\frac{m}{2}\right)=m+3-\frac{m^2}{4}\le 0\iff m^2-4m-12\ge 0\iff m\le -2$ hoặc $m\ge 6$; kết hợp $m>0$ được $m\ge 6$.
- Nếu $m\le 0$: $f^{\prime }(t)=2t-m>0$ nên $f$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, ${\inf }_{t>0}f=f(0^{+})=m+3$ (không đạt được). Tồn tại $t>0$ với $f(t)\le 0\iff m+3<0\iff m<-3$ (với $m=-3$ thì $f(t)=t^2+3t>0$ với mọi $t>0$).
Kết luận: $m<-3$ hoặc $m\ge 6$.

b) Đặt $t=3^x>0$, bất phương trình $t^2-mt+m+3\le 0$ có cùng dạng như câu a). Kết luận: $m<-3$ hoặc $m\ge 6$.

c) Điều kiện: $2^x-2\ge 0\iff x\ge 1$. Đặt $t=2^x\ge 2$, xét $f(t)=\sqrt{t+7}+\sqrt{t-2}$, đồng biến trên $[2;+\infty )$ nên $\min f=f(2)=3$. Bất phương trình $f(t)\le m$ có nghiệm $\iff m\ge 3$. Kết luận: $m\ge 3$.

d) Vì $\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$, đặt $a=\sqrt{2}+1>1$, $u=x^2\ge 0$. Khi đó ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^{x^2-1}=a^{-(x^2-1)}=a^{1-u}$, phương trình thành $a^u+a^{1-u}=-m$. Theo AM–GM: $a^u+a^{1-u}\ge 2\sqrt{a^{u+1-u}}=2\sqrt{a}$, dấu bằng khi $a^u=a^{1-u}\iff u=\frac{1}{2}$, tức $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ (thỏa mãn). Tập giá trị của $a^u+a^{1-u}$ là $\left[2\sqrt{a};+\infty \right)$, nên phương trình có nghiệm $\iff -m\ge 2\sqrt{a}\iff m\le -2\sqrt{\sqrt{2}+1}$.