Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a) $(x+1){\log }_{0,5}^{2}x+(2x+5){\log }_{0,5}x+6\ge 0$
b) ${\log }_2\left(2^x+1\right)+{\log }_3\left(4^x+2\right)\le 2$
c) $\frac{3}{{\log }_2\left(x+1\right)}>\frac{2}{{\log }_3\left(x+1\right)}$
d) $\frac{\lg \frac{5+x}{5-x}}{2^x-3x+1}<0$

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện $x>0$. Đặt $t={\log }_{0,5}x$, bất phương trình thành $(x+1)t^2+(2x+5)t+6\ge 0$ với $x+1>0$. Biệt thức $\Delta =(2x+5{)}^2-24(x+1)=4x^2-4x+1=(2x-1{)}^2$, hai nghiệm $t_1=-2$, $t_2=-\frac{3}{x+1}$. Vì hệ số dương, bất phương trình $\ge 0$ tương đương $t$ NẰM NGOÀI khoảng giữa hai nghiệm (không phải giữa hai nghiệm).

- Với $x>\frac{1}{2}$: $t_2=-\frac{3}{x+1}>-2=t_1$, cần $t\le -2$ hoặc $t\ge t_2$.
+ $t\le -2\iff {\log }_{0,5}x\le -2\iff x\ge 4$ (hàm nghịch biến).
+ $t\ge -\frac{3}{x+1}\iff x\le 2^{\frac{3}{x+1}}$. Với $\frac{1}{2}<x\le 2$: $2^{\frac{3}{x+1}}\ge 2\ge x$, đúng; với $x>2$: $2^{\frac{3}{x+1}}<2<x$, sai.
Kết hợp: $\frac{1}{2}<x\le 2$ hoặc $x\ge 4$.
- Với $0<x\le \frac{1}{2}$: $t_2\le -2$, cần $t\le t_2$ hoặc $t\ge -2$; nhưng $t\ge -2\iff x\le 4$ luôn đúng trên $(0;\frac{1}{2}]$, nên cả khoảng này thỏa.
Vậy $S=(0;2]\cup [4;+\infty )$. Kiểm tra: $x=3$: $t={\log }_{0,5}3\approx -1,585$, thay vào $(4)(2,512)+(11)(-1,585)+6\approx 10,05-17,44+6<0$, đúng là $x=3$ không thỏa.

b) $f(x)={\log }_2(2^x+1)+{\log }_3(4^x+2)$ liên tục, đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tổng hai hàm đồng biến). $f(0)={\log }_{2}2+{\log }_{3}3=2$. Vì $f$ đồng biến: $f(x)\le 2\iff x\le 0$. Vậy $S=(-\infty ;0]$.

c) Điều kiện $x+1>0$, $x+1\ne 1$. Đặt $t=\ln (x+1)$, bất phương trình $\frac{3\ln 2}{t}>\frac{2\ln 3}{t}$.
- $t>0$ ($x>0$): cần $3\ln 2>2\ln 3\iff \ln 8>\ln 9$, sai.
- $t<0$ ($-1<x<0$): nhân với $t<0$ đổi chiều: $3\ln 2<2\ln 3\iff 8<9$, đúng.
Vậy $S=(-1;0)$.

d) Điều kiện $\frac{5+x}{5-x}>0\iff -5<x<5$.
Tử số: $\lg \frac{5+x}{5-x}>0\iff \frac{5+x}{5-x}>1\iff x>0$ (do $5-x>0$). Vậy tử dương trên $(0;5)$, âm trên $(-5;0)$.
Mẫu số: $g(x)=2^x-3x+1$, $g(1)=0$, $g(3)=0$; $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2-3$ chỉ đổi dấu một lần (âm rồi dương), nên $g$ giảm rồi tăng: $g>0$ trên $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$, $g<0$ trên $(1;3)$ (kiểm tra $g(0)=2>0$, $g(2)=-1<0$, $g(4)=5>0$).
Cần tử và mẫu trái dấu:
- $(-5;0)$: tử âm, mẫu dương — thỏa toàn khoảng.
- $(0;5)$: tử dương, cần mẫu âm: $x\in (1;3)$.
Vậy $S=(-5;0)\cup (1;3)$.