Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a) $\ln ({\sin }^{2}x)-1+{\sin }^{3}x=0$
b) ${\log }_2\left(x^2+|x|-1\right)=\sqrt{1-x^2}$
c) $2^{2x+1}+2^{3-2x}=\frac{8}{{\log }_3\left(4x^2-4x+4\right)}$

(AI giải đề cho tôi)
Giải bằng phương pháp đối lập (so sánh hai vế qua bất đẳng thức).

a) ĐK: $\sin x\ne 0$. Đặt $t=\sin x\in [-1;1]\setminus \{0\}$, phương trình thành $\ln (t^2)+t^3-1=0$.
- Với $t\in (0;1]$: $\ln (t^2)\le 0$ và $t^3-1<0$ nên $\ln (t^2)+t^3-1<0$, không có nghiệm; tại $t=1$ biểu thức bằng $0$ → $t=1$ là nghiệm.
- Với $t\in [-1;0)$: xét $f(t)=2\ln |t|+t^3-1$; $f(-1)=-2$, $f(t)\to -\infty$ khi $t\to 0^{-}$, và $f^{\prime }(t)=\frac{2}{t}+3t^2$ đổi dấu tại $t=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ với giá trị lớn nhất $f\approx -1,94<0$. Vậy $f(t)<0$ trên $[-1;0)$, vô nghiệm.
Vậy $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi$? Kiểm tra: cần $\sin x=1$ đúng nghĩa, tức $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) ĐK: $x^2+|x|-1>0$ và $|x|\le 1$. Từ $x^2+|x|-1>0$ với $|x|\le 1$ suy ra $|x|>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Vì $0\le \sqrt{1-x^2}\le 1$ nên $0\le {\log }_2(x^2+|x|-1)\le 1$, tức $1\le x^2+|x|-1\le 2$, suy ra $2\le x^2+|x|\le 3$.
Đặt $t=|x|\in \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2};1\right]$: phương trình ${\log }_2(t^2+t-1)=\sqrt{1-t^2}$. VT là hàm tăng theo $t$, VP là hàm giảm theo $t$ nên phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Thử $t=1$: VT $={\log }_{2}1=0=$ VP. Vậy $t=1$, tức $x=\pm 1$ (thỏa mãn ĐK). $S=\{-1;1\}$.

c) ĐK: $4x^2-4x+4=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+3\ge 3>0$ và $\ne 1$, nên phương trình xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- VT: $2^{2x+1}+2^{3-2x}=2\cdot 4^x+\frac{8}{4^x}\ge 2\sqrt{2\cdot 4^x\cdot \frac{8}{4^x}}=2\sqrt{16}=8$, dấu '=' khi $2\cdot 4^x=\frac{8}{4^x}\iff 4^x=2\iff x=\frac{1}{2}$.
- VP: vì $4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+3\ge 3$ nên ${\log }_3\left(4x^2-4x+4\right)\ge 1$, do đó $\frac{8}{{\log }_3(4x^2-4x+4)}\le 8$, dấu '=' khi $x=\frac{1}{2}$.
Hai vế bằng nhau chỉ khi cả hai cùng bằng 8, tức $x=\frac{1}{2}$. Thử lại: VT $=2\cdot 2+\frac{8}{2}=8$; VP $=\frac{8}{{\log }_{3}3}=8$. Vậy $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$.