Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
a) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x+{\left(2+\sqrt{3}\right)}^x=14$

b) ${\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x+{\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^x=4$

c) $(2+\sqrt{3}{)}^x+(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3}{)}^x=4(2+\sqrt{3})$

d) ${\left(5-\sqrt{21}\right)}^x+7{\left(5+\sqrt{21}\right)}^x=2^{x+3}$

e) ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^x-3{\left(2-\sqrt{3}\right)}^x+2=0$

f) ${\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}}\right)}^x+{\left(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}}\right)}^x=6$

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét chung: các cặp cơ số đều có tích bằng 1, nên đặt $t=(\text{cơ soˆˊ lớn}{)}^x>0$ đưa về phương trình $t+\frac{1}{t}=c$ hoặc tương tự.

a) Vì $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$, đặt $t=(2+\sqrt{3}{)}^x>0$: $t+\frac{1}{t}=14\iff t^2-14t+1=0\iff t=7\pm 4\sqrt{3}=(2\pm \sqrt{3}{)}^2$.
- $t=(2+\sqrt{3}{)}^2\Rightarrow x=2$; $t=(2-\sqrt{3}{)}^2=(2+\sqrt{3}{)}^{-2}\Rightarrow x=-2$. Kết quả: $x=\pm 2$.

b) $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=1$. Đặt $t={\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x>0$: $t+\frac{1}{t}=4\iff t=2\pm \sqrt{3}$. Vì ${\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^2=2+\sqrt{3}$, ta được $x=2$ (khi $t=2+\sqrt{3}$) và $x=-2$ (khi $t=2-\sqrt{3}$). Kết quả: $x=\pm 2$.

c) $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2$. Đặt $t=(2+\sqrt{3}{)}^x>0$, khi đó $(2-\sqrt{3}{)}^x=\frac{1}{t}$:
$$t+\frac{(2+\sqrt{3}{)}^2}{t}=4(2+\sqrt{3})\iff t^2-4(2+\sqrt{3})t+(2+\sqrt{3}{)}^2=0$$
$\iff t=(2+\sqrt{3})\left(2\pm \sqrt{3}\right)$. Vậy $t=(2+\sqrt{3}{)}^2\Rightarrow x=2$; $t=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\Rightarrow x=0$. Kết quả: $x\in \{0;2\}$.

d) Chia hai vế cho $2^x$: ${\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)}^x+7{\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)}^x=8$. Vì $\frac{5-\sqrt{21}}{2}\cdot \frac{5+\sqrt{21}}{2}=\frac{25-21}{4}=1$, đặt $u={\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)}^x>0$: $\frac{1}{u}+7u=8\iff 7u^2-8u+1=0\iff u=1$ hoặc $u=\frac{1}{7}$.
- $u=1\Rightarrow x=0$.
- $u=\frac{1}{7}\Rightarrow x={\log }_{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}\frac{1}{7}$.
Kết quả: $x=0$ hoặc $x={\log }_{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}\frac{1}{7}$.

e) Vì $7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2$ và $(2-\sqrt{3}{)}^x=(2+\sqrt{3}{)}^{-x}$, đặt $t=(2+\sqrt{3}{)}^x>0$:
$$t^2-\frac{3}{t}+2=0\iff t^3+2t^2-3=0\iff (t-1)(t^2+3t+3)=0.$$
Tam thức $t^2+3t+3$ vô nghiệm ($\Delta =9-12<0$), nên $t=1\Rightarrow x=0$. Kiểm tra: $1-3+2=0$ đúng. Kết quả: $x=0$.

f) $\sqrt[3]{3+\sqrt{8}}\cdot \sqrt[3]{3-\sqrt{8}}=\sqrt[3]{9-8}=1$. Đặt $t={\left(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}}\right)}^x>0$: $t+\frac{1}{t}=6\iff t=3\pm 2\sqrt{2}$. Mà $3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}$, nên $t=3+2\sqrt{2}\Rightarrow {\left(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}\right)}^x=3+2\sqrt{2}\Rightarrow x=3$; tương tự $t=3-2\sqrt{2}\Rightarrow x=-3$. Kết quả: $x=\pm 3$.