Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60^0$.

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm đáy ABCD của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^0$.

a) Xác định tâm và bán kính:
- Vì hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, $O$ là tâm hình vuông ABCD, $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Trong tam giác vuông SOA: $\widehat{SAO}=60^0\Rightarrow SO=AO\tan 60^0=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, $SA=\frac{AO}{\cos 60^0}=a\sqrt{2}$.
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường thẳng SO (trục của hình chóp). Gọi I là tâm, $R$ là bán kính. Vì $IA=IS=R$, với $h=SO=\frac{a\sqrt{6}}{2}$:
$$R^2=(h-R{)}^2+A{O}^2\Rightarrow R=\frac{h^2+A{O}^2}{2h}=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{2a^2}{a\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$
Vậy tâm I nằm trên SO với $SI=R=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, bán kính $R=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

b) Diện tích và thể tích:
$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{6a^2}{9}=\frac{8\pi a^2}{3}.$$
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}{a}^3}{27}=\frac{8\sqrt{6}\pi a^3}{27}.$$

Kiểm tra: $R^2=\frac{2a^2}{3}>\frac{a^2}{2}=A{O}^2$, hợp lý; $R<SO$ nên tâm I nằm trong đoạn SO (cụ thể $OI=SO-R=\frac{a\sqrt{6}}{6}$).