Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.

b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC, suy ra tam giác SAC vuông tại A. Tam giác ABC vuông tại B nên ∠ABC = 90°.
- BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB. Trong (SAB): AH ⊥ SB và BC ⊥ AH (vì BC ⊥ (SAB)), do đó AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ HC, tức ∠AHC = 90°.
- AK ⊥ SC (đường cao của tam giác SAC) ⇒ ∠AKC = 90°.
Vậy năm điểm A, B, C, H, K cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông, nên chúng cùng thuộc mặt cầu đường kính AC.

b) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26$.
Tâm mặt cầu là trung điểm I của AC; bán kính $R=\frac{AC}{2}=13$.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt A(0;0;0), B(10;0;0), C(10;24;0), S(0;0;s). Với s = 10, chân đường cao H từ A xuống SB là H(5;0;5), khi đó $I{H}^2=0+144+25=169=R^2$ ✓ (tương tự với K và mọi giá trị s).