Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O′, R) sao cho OA và O′B hợp với nhau một góc bằng x và và hai đường thẳng AB, O′O hợp với nhau một góc bằng y.

a) Tính bán kính R theo h, x, y.

b) Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$ và thể tích V của hình trụ theo $h,x,y$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O=(0,0,0)$, $O^{\prime }=(0,0,h)$, $A=(R,0,0)$, $B=(R\cos x,R\sin x,h)$ (góc giữa $OA$ và $O^{\prime }B$ bằng $x$ vì hai bán kính này cùng phương chiếu lên mặt phẳng ngang). Khi đó $\overrightarrow{AB}=(R(\cos x-1),R\sin x,h)$ nên
$$A{B}^2=R^2[(\cos x-1{)}^2+{\sin }^{2}x]+h^2=2R^2(1-\cos x)+h^2=4R^2{\sin }^2\frac{x}{2}+h^2.$$
Góc giữa $AB$ và trục $O{O}^{\prime }$ (phương $(0,0,1)$) là $y$ nên $\cos y=\frac{h}{AB}$, suy ra $\sin y=\frac{2R\sin (x/2)}{AB}$, do đó $\tan y=\frac{2R\sin (x/2)}{h}$.

a) $R=\frac{h\tan y}{2\sin \frac{x}{2}}$.

b) $AB=\frac{h}{\cos y}$.
Diện tích xung quanh: $S_{xq}=2\pi Rh=\frac{\pi h^2\tan y}{\sin \frac{x}{2}}$.
Diện tích toàn phần (gồm mặt xung quanh và HAI đáy):
$$S_{tp}=S_{xq}+2\pi R^2=\frac{\pi h^2\tan y}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\pi h^2{\tan }^{2}y}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}.$$
Thể tích: $V=\pi R^{2}h=\frac{\pi h^3{\tan }^{2}y}{4{\sin }^2\frac{x}{2}}$.

Kiểm tra: các công thức đều dương, thứ nguyên đúng; khi $x\to 0$ thì $R\to \infty$, hợp lý vì khi đó $AB$ gần song song với mặt đáy.