Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là $\alpha$.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho $\frac{SI}{SO}=k$ $(0<k<1)$. Tính diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r,h,l$ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình nón, với $l=1$. Trong tam giác vuông SOA (O là tâm đáy, A trên đường tròn đáy), góc giữa đường sinh SA và mặt đáy là $\widehat{SAO}=\alpha$, nên $r=SA\cos \alpha =\cos \alpha$, $h=SA\sin \alpha =\sin \alpha$.

a) Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl=\pi \cos \alpha$.
Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\cos }^2\alpha \sin \alpha$.

b) Thiết diện qua I vuông góc với trục là đường tròn với tâm I, bán kính $r^{\prime }$. Do tam giác đồng dạng: tam giác tạo bởi S, I và điểm trên bán kính thiết diện đồng dạng với tam giác SOA theo tỉ số $\frac{SI}{SO}=k$, nên $r^{\prime }=k\cdot r=k\cos \alpha$.
Diện tích thiết diện: $S=\pi r^{\prime 2}=\pi k^2{\cos }^2\alpha$.

Kiểm tra: khi $k=1$ (I trùng O) được diện tích đáy $\pi {\cos }^2\alpha$ — đúng; khi $k\to 0$ (I tiến về S) diện tích tiến về 0 — đúng.