Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS, đặt OM = x $(0<x<h)$.
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo $R$, $h$ và $x$. Xác định x sao cho V đạt giá trị lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Hình nón đỉnh S, tâm đáy O, SO = h. M thuộc OS với OM = x, nên SM = h − x.

a) Thiết diện (C) vuông góc với trục tại M là đường tròn tâm M, bán kính r. Vì thiết diện song song với đáy, tam giác đồng dạng cho: $\frac{r}{R}=\frac{SM}{SO}=\frac{h-x}{h}$, suy ra $r=\frac{R(h-x)}{h}$.
Diện tích thiết diện: $S_{(C)}=\pi r^2=\frac{\pi R^2(h-x{)}^2}{h^2}$.

b) Khối nón đỉnh O, đáy (C) có chiều cao OM = x và bán kính đáy $r=\frac{R(h-x)}{h}$:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}x=\frac{\pi R^2}{3h^2}x(h-x{)}^2,0<x<h.$$

Xét $f(x)=x(h-x{)}^2$ trên $(0;h)$:
$f^{\prime }(x)=(h-x{)}^2-2x(h-x)=(h-x)(h-3x)$.
$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{h}{3}$ (do $0<x<h$).
Trên $(0;\frac{h}{3})$: $f^{\prime }>0$; trên $(\frac{h}{3};h)$: $f^{\prime }<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{h}{3}$.

Giá trị lớn nhất:
$$V_{\max }=\frac{\pi R^2}{3h^2}\cdot \frac{h}{3}\cdot {\left(\frac{2h}{3}\right)}^2=\frac{4\pi R^{2}h}{81}.$$