Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính R và có đường cao h = R√2. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O' sao cho OA vuông góc với O'B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO' là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO' và khối trụ.
b) Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua AB và song song với OO'. Tính khoảng cách giữa trục OO' và mặt phẳng $(\alpha )$.
c) Chứng minh rằng $(\alpha )$ là tiếp diện của mặt trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O=(0,0,0), O'=(0,0,h) với h=R√2, A=(R,0,0), B=(Rcosθ, Rsinθ, h). Điều kiện OA⊥O'B: O'B=(Rcosθ,Rsinθ,0), OA·O'B=R²cosθ=0 ⇒ θ=90°, B=(0,R,h).

a) Vì OO'⊥(O) nên OO'⊥OA và OO'⊥O'B ⇒ tam giác AOO' vuông tại O, BOO' vuông tại O'. OA⊥O'B và OA⊥OO' ⇒ OA⊥(OBO') ⇒ OA⊥OB (tam giác OAB vuông tại O) và OA⊥O'B. O'B⊥OA, O'B⊥OO' ⇒ O'B⊥(AOO') ⇒ O'B⊥AB (tam giác ABO' vuông tại B'). Vậy cả 4 mặt bên đều là tam giác vuông.
Thể tích tứ diện: V₁=(1/3)·S_{OBO'}·OA=(1/3)·(R²/2)·R=R³/6. Thể tích trụ: V₂=πR²h=πR³√2. Tỉ số V₁/V₂=1/(6π√2)=√2/(12π).

b) Mặt phẳng (α) qua AB và song song OO' (phương (0,0,1)), AB=(−R,R,h). VTPT n=(0,0,1)×(−R,R,h)=(−R,−R,0)∼(1,1,0). (α): x+y=R. Khoảng cách từ O(0,0,0) tới (α): d=R/√2=R√2/2.

c) Trục OO' là đường thẳng x=y=0. Khoảng cách từ mọi điểm (0,0,t) trên trục tới (α) (x+y−R=0) đều bằng |0+0−R|/√2=R√2/2 không đổi, nên trục song song với (α) và cách (α) một khoảng R√2/2. Do đó (α) tiếp xúc với mặt trụ tròn xoay trục OO' bán kính R√2/2, tức (α) là tiếp diện của mặt trụ đó.