Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO′ = 2a. OA và OB′ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O), (O′) sao cho góc của OA và OB′ bằng $30^0$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB′.

b) Tính tang của góc giữa AB′ và OO′.

c) Tính khoảng cách giữa AB′ và OO′.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn A' là hình chiếu của A trên đáy dưới. Khi đó A'B' là dây cung của đường tròn đáy (O') với góc ở tâm ∠A'O'B' = 30° (góc giữa OA và OB' chính là góc giữa hai bán kính sau khi đưa về cùng một mặt phẳng đáy).

a) Tam giác O'A'B' cân tại O' có A'B' = 2a·sin(30°/2) = 2a·sin15°. Vì AA' ⊥ (O') nên AA' ⊥ A'B', do đó:
$$A{B}^{\prime }=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{B}^{\prime 2}}=\sqrt{(2a{)}^2+(2a\sin 15°{)}^2}=2a\sqrt{1+{\sin }^{2}15°}.$$
Vì ${\sin }^{2}15°=\frac{1-\cos 30°}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ nên $1+{\sin }^{2}15°=\frac{6-\sqrt{3}}{4}$, suy ra:
$$A{B}^{\prime }=a\sqrt{6-\sqrt{3}}.$$

b) Vì AA' ⊥ đáy nên AA' ⊥ A'B'. Góc giữa AB' và OO' bằng góc giữa AB' và AA' (vì OO' ∥ AA'). Trong tam giác vuông AA'B' vuông tại A':
$$\tan \alpha =\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}=\frac{2a\sin 15°}{2a}=\sin 15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

c) Gọi H là trung điểm A'B', khi đó O'H ⊥ A'B' và O'H ⊥ AA' nên O'H ⊥ (AA'B'). Suy ra O'H ⊥ AB', đồng thời O'H ⊥ AA' nên O'H ⊥ OO' (vì OO' ∥ AA'). Vậy O'H là đường vuông chung của AB' và OO'. Khoảng cách giữa AB' và OO' là:
$$d=O^{\prime }H=O^{\prime }{A}^{\prime }\cos 15°=a\cos 15°=\frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}.$$

Đáp số: a) $A{B}^{\prime }=a\sqrt{6-\sqrt{3}}$; b) $\tan \alpha =\sin 15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$; c) $d=\frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.