Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = $a\sqrt{7}$ và SA ⊥ (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục kiểm tra: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√7). Mặt phẳng (P) qua A vuông góc SC có phương trình x + y = √7·z. Giao với SB tại H(7a/8, 0, a√7/8), với SD tại K(0, 7a/8, a√7/8), với SC tại M(7a/9, 7a/9, 2a√7/9). Thay tọa độ vào phương trình mặt cầu tâm O(a/2, a/2, 0) (tâm hình vuông, trung điểm AC) bán kính R = a√2/2: OA² = OB² = OC² = OD² = a²/2; OH² = (3a/8)² + (a/2)² + (a√7/8)² = 9a²/64 + 16a²/64 + 7a²/64 = a²/2; tương tự OK² = a²/2; OM² = 2(5a/18)² + (2a√7/9)² = 50a²/324 + 112a²/324 = a²/2. Vậy cả bảy điểm cùng thuộc mặt cầu (O, a√2/2).

Lời giải chi tiết:
a) • AB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) và AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ SB, tức ∠ABH = 90°.
• Tương tự AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SD, tức ∠ADK = 90°.
• (P) ⊥ SC nên AM ⊥ SC, mà M ∈ SC ⇒ ∠AMC = 90°.
• Với H: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH. Mà AH ⊥ SC (vì AH ⊂ (P)) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ HC (vì HC ⊂ (SBC)) và AH ⊥ HB, tức ∠AHC = ∠AHB = 90°.
• Hoàn toàn tương tự AK ⊥ (SDC) ⇒ ∠AKC = ∠AKD = 90°.
Vậy ∠ABC = ∠ADC = 90° (ABCD vuông), và các góc ∠AMC, ∠AHC, ∠AKC đều vuông: sáu điểm B, C, D, M, H, K cùng với A đều nhìn AC dưới góc 90°.

b) Tập các điểm nhìn AC dưới góc 90° là mặt cầu đường kính AC. Tâm O là trung điểm AC (cũng là tâm hình vuông ABCD), bán kính:
$$R=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$