Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và điểm $M(1;2;3)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a\in [-5;-3]$. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $MABC$ bằng

Chọn A.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
Vì $d\subset (P)$ nên hai điểm thuộc $d$ là $P_1(-1;1;2)$ và $P_2(1;2;5)$ phải thuộc $(P)$:
$\{<table><tbody><tr><td>-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1</td></tr><tr><td>\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{5}{c}=1</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>\frac{1}{b}=3+\frac{7}{a}=\frac{3a+7}{a}</td></tr><tr><td>\frac{1}{c}=-1-\frac{3}{a}=\frac{-a-3}{a}</td></tr></tbody></table>$
Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(M,(P))=\frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|abc|\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$.
Thể tích khối tứ diện $MABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot d(M,(P))=\frac{1}{6}|abc|\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|$.
Thay $\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ theo $a$:
$\frac{1}{a}+2\left(3+\frac{7}{a}\right)+3\left(-1-\frac{3}{a}\right)-1=\frac{6}{a}+2=\frac{2(a+3)}{a}$.
$abc=a\cdot \frac{a}{3a+7}\cdot \frac{a}{-a-3}=\frac{-a^3}{(3a+7)(a+3)}$.
Suy ra:
$V=\frac{1}{6}\cdot \frac{a^3}{(3a+7)(a+3)}\cdot \frac{2(a+3)}{a}=\frac{a^2}{3(3a+7)}$.
Với $a\in [-5;-3]$, xét hàm số $f(a)=\frac{a^2}{3a+7}$ trên $[-5;-3]$:
$f^{\prime }(a)=\frac{2a(3a+7)-3a^2}{(3a+7{)}^2}=\frac{3a^2+14a}{(3a+7{)}^2}=\frac{a(3a+14)}{(3a+7{)}^2}$.
$f^{\prime }(a)=0\iff a=-\frac{14}{3}\in [-5;-3]$.
Ta có $f\left(-\frac{14}{3}\right)=\frac{\frac{196}{9}}{-14+7}=\frac{\frac{196}{9}}{-7}=-\frac{28}{9}$.
Vì thể tích luôn dương (lấy trị tuyệt đối), $V(a)=\frac{a^2}{3|3a+7|}$ đạt cực tiểu tại $a=-\frac{14}{3}$:
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{28}{9}=\frac{56}{27}$.