Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;2;-2),\vec{v}=(1;0;m)$ ($m$ là tham số). Giá trị của $m$ (làm tròn đến hàng phần chục) để góc giữa hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ bằng $60^{\circ }$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1+0-2m=1-2m$; $|\vec{u}|=\sqrt{1+4+4}=3$; $|\vec{v}|=\sqrt{1+m^2}$. Góc $60^{\circ }$ yêu cầu $\frac{1-2m}{3\sqrt{1+m^2}}=\frac{1}{2}$ với $1-2m>0$. Bình phương: $4(1-2m{)}^2=9(1+m^2)\iff 4-16m+4m^2=9+9m^2\iff 5m^2+16m+5=0$... kiểm tra lại: $4(1-4m+4m^2)=4-16m+16m^2$, nên $16m^2-16m+4=9+9m^2\iff 7m^2-16m-5=0\iff m=\frac{16\pm \sqrt{256+140}}{14}=\frac{16\pm \sqrt{396}}{14}=\frac{8\pm 3\sqrt{11}}{7}$. Nghiệm $m=\frac{8+3\sqrt{11}}{7}\approx 2,56$ bị loại vì khi đó $1-2m<0$ (cos âm, không thể bằng $1/2$). Nghiệm $m=\frac{8-3\sqrt{11}}{7}\approx -0,2786$ thỏa $1-2m\approx 1,56>0$. Làm tròn đến hàng phần chục: $m\approx -0,3$.