Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 2y - 2z - 3 = 0 và điểm A(5; 3; -2). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu

Question

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 2y - 2z - 3 = 0 và điểm A(5; 3; -2). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M, N. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4AN là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;1), bán kính R= 4+1+1+3 =3. Với A(5;3;-2): AI= 9+16+9 = 34 >3 nên A ngoài mặt cầu. Vì d qua A cắt (S) tại M,N phân biệt, phương tích của A đối với (S): AM AN=AI 2-R 2=34-9=25. Gọi H là trung điểm MN, đặt IH=h [0;3). Khi đó AH= 34-h 2 , HM= 9-h 2 , nên kiểm tra: AM AN=(34-h 2)-(9-h 2)=25 đúng. Do AM AN và AM AN=25 nên AM [ 34 -3;\,5 ] (với h=0, tức d đi qua tâm I, ta có AM=AN=5). Đặt x=AM, khi đó AN= 25 x và S =5+4 5=25.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 25 , 0 (đạt được khi d đi qua tâm I$).

Đề Thi Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng 2025-2026 (Mã Đề 0104)

Các câu hỏi khác trong đề (22 câu)