Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z+2=0$ và hai điểm $A(2;0;1)$, $B(1;1;2)$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và cắt đường thẳng $AB$, thỏa mãn góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $d$ bằng góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(\alpha )$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$. Khoảng cách từ điểm $M(1;-2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1;-1;1)$ và các mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z-5=0$, $(\beta ):4x-4y-2z-5=0$.

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt vườn hoa được mô phỏng bởi mặt phẳng $(P):x+y+4z-30=0$. Tại hai vị trí $H,K$ trong vườn, người ta dựng hai cột đèn $AH,BK$ vuông góc với mặt vườn. Cho biết:
+ Tọa độ đỉnh cột đèn $AH$ là $(1;3;10)$.
+ Chiều cao cột đèn $BK$ là $\frac{22\sqrt{2}}{3}$.
+ Khoảng cách giữa hai chân cột đèn là $17$.
Một đèn chiếu được gắn tại điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua hai chân cột $H$ và $K$. Yêu cầu kỹ thuật đặt ra là hai tia sáng $MA$ và $MB$ tạo với mặt vườn các góc bằng nhau, $MA>6$. Khi đó $MH=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), giá trị của $a+100b$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z-2=0$ và hai điểm $A(1;2;-1)$; $B(2;3;0)$.

Khoảng cách từ điểm $M(2;1;-1)$ đến mặt phẳng $(P):\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}=1$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;3;1)$ và $B(5;6;2)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.