Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x-y+2=0$ và hai điểm $M(1;0)$, $N(-1;3)$. Giả sử $P(a;b)$ (với $a$, $b$ nguyên) thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác $MNP$ vuông tại $P$. Tính $T=2a+3b$.

(AI giải đề cho tôi)
P(a;b) thuộc Δ nên b = a + 2. Tam giác MNP vuông tại P nên (M−P)·(N−P)=0: (1−a)(−1−a) + (−a−2)(1−a) = (a²−1) + (a+2)(a−1) = 2a² + a − 3 = 0. Giải được a = 1 hoặc a = −3/2 (loại vì a nguyên). Với a = 1 thì b = 3, P(1;3). Kiểm tra: PM = (0;−3), PN = (−2;0), tích vô hướng bằng 0, đúng vuông tại P. Vậy T = 2·1 + 3·3 = 11.