Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm thuộc đường thẳng $\Delta :x+y-1=0$ và đi qua hai điểm $A(6;2)$, $B(-1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $\Delta :x+y-1=0$ nên $b=1-a$, tức $I(a;1-a)$.

Vì $(C)$ đi qua $A(6;2)$ và $B(-1;3)$ nên $IA=IB$, suy ra $I{A}^2=I{B}^2$:
$$(a-6{)}^2+(1-a-2{)}^2=(a+1{)}^2+(1-a-3{)}^2$$
$$(a-6{)}^2+(-a-1{)}^2=(a+1{)}^2+(-a-2{)}^2$$
$$a^2-12a+36+a^2+2a+1=a^2+2a+1+a^2+4a+4$$
$$-10a+37=6a+5\Rightarrow 16a=32\Rightarrow a=2.$$
Vậy $I(2;-1)$ (thỏa mãn $2+(-1)-1=0$).

Bán kính: $R^2=I{A}^2=(2-6{)}^2+(-1-2{)}^2=16+9=25$, nên $R=5$.

Phương trình đường tròn: $$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25.$$

Kiểm tra: $A(6;2)$: $4^2+3^2=25$ đúng; $B(-1;3)$: $(-3{)}^2+4^2=9+16=25$ đúng.