Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, tức $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$.

**1) Tính tăng, giảm:**

Với mọi $n\ge 1$, ta có:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0.$$

Vậy $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\ge 1$, do đó dãy số $(u_n)$ là dãy số **tăng**.

**2) Tính bị chặn:**

- **Bị chặn dưới:** Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_n\ge u_1=1>0$. Vậy dãy bị chặn dưới bởi $1$.

- **Bị chặn trên:** Với mọi $k\ge 2$, ta có $k^2\ge k(k-1)$, suy ra:
$$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}(k\ge 2).$$

Do đó với $n\ge 2$:
$$u_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le 1+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2.$$

(Với $n=1$: $u_1=1<2$, bất đẳng thức vẫn đúng.)

Vậy $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$, tức dãy số $(u_n)$ **bị chặn** (bị chặn dưới bởi $1$ và bị chặn trên bởi $2$).

**Kết luận:** Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn (cụ thể $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$).