Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chứng minh đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD (tâm đáy). Trong hình chóp đều, đỉnh S nằm trên đường vuông góc với mặt đáy tại tâm O, nên $SO\perp (ABCD)$. Vậy đường cao của hình chóp là SO. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp đều S.ABCD, cạnh đáy 2,2m, cạnh bên 2,8m. AC = 2,2√2 nên AO = 1,1√2 ≈ 1,5556; SO = √(2,8² − 1,5556²) = √(7,84 − 2,42) = √5,42 ≈ 2,328m.
a) Đúng: MN là đường trung bình của tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) (chóp đều) nên MN ⊥ (ABCD).
b) Sai: Hình chiếu của B trên (SAC) là O (vì BO ⊥ AC và BO ⊥ SO), nên góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO, tức góc BSO. tan(BSO) = BO/SO = 1,5556/2,328 ≈ 0,668 → BSO ≈ 33,7° ≈ 34°, không phải 38°.
c) Đúng: AC ⊥ BD (hình vuông) và AC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) nên AC ⊥ (SBD).
d) Sai: CD ∥ AB. Trong tam giác SAB cân với SA = SB = 2,8, AB = 2,2, ta có cos(góc giữa SB và AB) = (SB² + AB² − SA²)/(2·SB·AB) = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0, nên SB không vuông góc với AB, do đó SB không vuông góc với CD. Khớp đáp án mã 211: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) nên MN ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SB và (SAC) là góc BSO với tan(BSO) = BO/SO ≈ 1,5556/2,328 ≈ 0,668, suy ra góc ≈ 34°, không phải 38°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO nên AC ⊥ (SBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB và cos góc giữa SB và AB = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0 nên SB không vuông góc CD.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√2), O(a/2;a/2;0), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0). a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC): Đúng. b) EF có VTCP (1;1;0), SO có VTCP (a/2; a/2; −a√2); tích vô hướng = a²/2 ≠ 0 nên EF không vuông góc SO: Sai. c) SC có VTCP (a; a; −a√2), EF có VTCP (1;1;0): cos = a/( (a√2)(2a) )·... tính: tích vô hướng = a, |SC| = 2a, |EF| = a/√2, cos = a/(2a·a/√2) = √2/2 → góc 45°: Đúng. d) VTPT (SEF): n = EF×ES với EF=(a/2;a/2;0), ES=(−a/2;0;a√2) cho n ∝ (2√2; −2√2; 1). SA có VTCP (0;0;1). sinθ = 1/√17, nên tanθ = 1/4: Đúng. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc giữa EF và SO bằng góc giữa AC và SO. Tam giác SAC cân tại A (SA = AC = a√2? thực tế SA = a√2, AC = a√2) có SO là trung tuyến, nhưng AC không vuông góc SO (tam giác SAC cân tại A, SO là đường trung tuyến từ S... SO không vuông AC vì tam giác SOC không vuông tại O: OC = a√2/2, SC = 2a, SC² = 4a² ≠ OC² + SO² = a²/2 + 2a² = 5a²/2). Vậy EF không vuông góc SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc(EF, SC) = góc(AC, SC). Trong tam giác SAC: SA = AC = a√2, SC = 2a, cos∠ACS = (AC² + SC² − SA²)/(2·AC·SC) = (2a² + 4a² − 2a²)/(2·a√2·2a) = 4a²/(4a²√2) = √2/2 → góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a√2), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0): VTPT của (SEF) là n ∝ (2√2; −2√2; 1), VTCP của SA là (0;0;1). sinθ = 1/√(8+8+1) = 1/√17, suy ra tanθ = 1/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy là hình vuông nên $AB\perp AD$. Mà $SA\cap AD=A$, $SA,AD\subset (SAD)$, do đó $AB\perp (SAD)$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, do đó tam giác $SAB$ vuông tại $A$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Đáy $ABC$ vuông tại $B$ nên tam giác $ABC$ vuông. Vì $BC\perp AB$ (do $△ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$, tức tam giác $SBC$ vuông tại $B$. Vậy cả 4 mặt đều là tam giác vuông, đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 4: D).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1102, câu 13: SDDS (a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng).

Ta có $△ABC$ vuông tại $B$, $△SAB$ và $△SAC$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$), và $BC\perp (SAB)⟹BC\perp SB$ nên $△SBC$ vuông tại $B$. Vậy có $4$ mặt là tam giác vuông.

Phương pháp: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Lời giải: Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, bao gồm $AB$, $AC$, và $BC$. Do đó các khẳng định A, C, D đều đúng. Khẳng định B sai vì trong tam giác vuông $SAB$ tại $A$, đường thẳng $SA$ không thể vuông góc với cạnh huyền $SB$.
Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, trang 9), Câu 4 (Phần 1) chọn đáp án D.

Trong hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên góc $\widehat{SBC}$ nhọn, suy ra khẳng định $SB\perp BC$ là sai.