Cho hai biến cố $A$ và $B$ của một phép thử có $P(A)=\frac{1}{3},P(B)=\frac{1}{4},P(A\cup B)=\frac{1}{2}$ ta kết luận hai biến cố $A$ và $B$ là

Kết quả phép toán ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^{2025}.{\left(\sqrt{2}+1\right)}^{2024}$ là

Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức $a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{1}{3}}$ là

Cho $a>0$ và $a\ne 1$, khi đó ${\log }_a\sqrt[5]{a}$ bằng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng.

Với $a,b$ là hai số dương tùy ý thì $\log \left(a^3{b}^2\right)$ có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?

Cặp biến cố A và B của một phép thử được gọi là độc lập nếu:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$ và $ABCD$ là hình chữ nhật. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $a,b$ là các số thực dương, $a\ne 1$ thỏa mãn ${\log }_{a}b=m$. Phân tích ${\log }_{\sqrt{a}}{a}^2{b}^3$ theo $m$.

Mệnh đề nào dưới đây là sai khi phát biểu về hàm số $y={\log }_{a}x$ (với $0<a\ne 1$) ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có tâm $O$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$, $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SO$. Khi đó:

Lớp 11D có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích bóng đá; 30 học sinh thích bóng chuyền; 10 học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 11D. Gọi $A$ là biến cố "Học sinh thích bóng đá", $B$ là biến cố "Học sinh thích bóng chuyền".

Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều $ABCDEF$ song song với mặt bàn và có cạnh $AB$ song song với cạnh bàn $a$ (Hình 5). Số đo góc hợp bởi đường thẳng $a$ với đường thẳng $AF$ là ${\alpha }^0$, tìm $\alpha$.

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là?

Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất $6,3\%$ / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức: $M(t)=75-20\ln (t+1),0\le t\le 12$ (đơn vị:%). Sau bao nhiêu tháng thì nhóm học sinh đó nhớ được khoảng một nửa danh sách các loài động vật đã xem (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho $a>0,b>0$. Rút gọn mỗi biểu thức sau: $$B=\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và có độ dài cạnh huyền bằng $2a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy.
1) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.
2) Tính diện tích hình chiếu của tam giác $SBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Một công ty bất động sản Đất Vàng thực hiện cuộc khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào để tiến hành dự án xây nhà ở Thăng Long group sắp tới. Kết quả khảo sát 500 khách hàng được ghi lại ở bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu (Làm tròn đến hàng phần mười)? Nêu ý nghĩa của kết quả đó.