Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-1;3)$, $B(4;0;1)$, $C(-10;5;3)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;-1;4)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-4;-5)$. Phương trình của $d$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):6x+8y+10z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-5}{5}$. Cosin của góc tạo bởi đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;1)$, $B(0;3;-1)$. Mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z-11=0$. Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P(B)=0,6$; $P(A\cap B)=0,2$ thì $P(A\mid B)$ bằng

Cho hai biến cố $A$, $B$ thỏa mãn $P(A)=0,4$; $P(B)=0,3$; $P(A\mid B)=0,25$. Khi đó, $P(B\mid A)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(1;2;1)$ và $B(3;0;1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(0;1;0)$, $N(2;1;3)$, $P(4;1;1)$.

Khi điều tra sức khoẻ nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có $40\%$ người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là $70\%$, trong đó người không bị bệnh tiểu đường là $25\%$. Chọn ngẫu nhiên 1 người cao tuổi kiểm tra sức khoẻ.

Cho $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|x|dx=m{a}^2+n{b}^2$, với $m$, $n$, $a$, $b$ là các hằng số thực và $a<0<b$. Giá trị của biểu thức $m+n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của điểm $A(1;0;0)$ lên mặt phẳng $(P):x-2y-2z+8=0$. Tính $a+b+c$.

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17cm, 18cm, 21cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23cm đến 24,5cm? Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân.

Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là $0,7$. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,8$. Nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,2$. Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?

Cho một mô hình $3D$ mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.



Chiều dài của đường hầm mô hình là $5\text{cm}$, khi cắt đường hầm bởi một mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm ta được mặt cắt là một hình parabol, có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi mặt cắt parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x$ (đơn vị là cm), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;-1)$ và $B(3;2;-4)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A,B$.

a) Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn $A,B,C$ theo tỉ lệ $20\%;50\%;30\%$. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là $5\%;4\%;8\%$. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.
b) Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?