Câu hỏi Vận dụng & Vận dụng cao môn Toán học

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $△ABC$ có $M(-2;1)$ là trung điểm $AB$. Đường trung tuyến và đường cao qua $A$ lần lượt là: $d_1:x+y-7=0$ và $d_2:5x+3y-29=0$. Phương trình đường thẳng $AC$ có dạng $ax+by-1=0$. Tính $T=a-2b$.

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta tạo thành một chiếc cột có tiết diện ngang gồm hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu đen như hình vẽ dưới đây. Diện tích tiết diện ngang lớn nhất là bao nhiêu $c{m}^2$? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Dự án Hyperloop là các sáng kiến phát triển một hệ thống vận tải siêu tốc, hoạt động bằng cách sử dụng các cabin di chuyển trong các ống chân không, giúp giảm ma sát và đạt được tốc độ cao hơn nhiều so với các phương tiện giao thông truyền thống. Dự án này đang được phát triển bởi các công ty công nghệ và các tổ chức nghiên cứu và thử nghiệm nhằm đưa công nghệ Hyperloop vào thực tế trong tương lai gần. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một cabin chuyển động với tốc độ không đổi $100\text{ m/s}$ từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;0)$. Biết rằng cabin chuyển động cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ và cabin đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $9010$. Hỏi sau bao nhiêu phút từ vị trí điểm $A$ thì cabin này đến vị trí điểm $B$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*?

Trên giá sách có 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lý, 3 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách. Tính xác suất để mỗi loại có ít nhất một quyển.

(2,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang, $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $IM$ và $SD$, $F$ là giao điểm của $IN$ và $SC$. Chứng minh $EF\parallel MN$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Chứng minh $OG\parallel (SAD)$.

d) Điểm $H$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $HB=2HC$. Chứng minh $(EFH)\parallel (SAB)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ có cạnh bằng $2$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Cho hàm số $y=\frac{-2x^2+x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Khi đó

Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-4x+6}{x-2}$ có đồ thị $(C)$.

Từ tập hợp số các số tự nhiên liên tiếp $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+\frac{2}{3}$.

Số nghiệm thuộc đoạn $[0;3\pi ]$ của phương trình $\frac{\sin 4x}{1-\sin x}=0$ là:

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=10\text{kg}$ được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Gọi $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10{\text{m/s}}^2$. Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng bao nhiêu N? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh cùng bằng $12a$, đáy $ABCD$ là hình vuông. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng $(MNG)$.

Tòa nhà Ericsson Globe (nay còn được gọi là Avicii Arena) là công trình rất nổi tiếng ở Stockholm, Thụy Điển, tòa nhà này có dạng là một phần của mặt cầu với đường kính $110\text{ m}$ và chiều cao bên trong $85\text{ m}$. Nó có đủ chỗ ngồi cho $16000$ khán giả của các buổi biểu diễn hòa nhạc hoặc $13850$ khán giả của các trận đấu khúc côn cầu trên băng. Giả sử tòa nhà được mô phỏng bởi một mặt cầu $(S)$ đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ có tâm $I$, đường kính $110\text{ m}$ và $OA=85\text{ m}$ như hình vẽ dưới. Biết rằng mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, đơn vị trên trục là mét.

Một bể chứa $2m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=12$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 2 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0{,}5 điểm. Một thí sinh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Xác suất để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn 7 là:

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt vải này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/1 mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Một bể chứa $3m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=11$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$ được mô phỏng ở Hình 24. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ $(-4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Biết đơn vị trên hệ trục tọa độ là dặm. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang $2,6$ dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình 24