Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và hai điểm $A(2;-1;0)$, $B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}$ $(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị $Q=2a+7b+2025$

Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $(P)$



Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là $\vec{n}=(2;-1;1)$

Đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và nhận $\vec{n}$ làm VTCP nên $AH:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$

Do $H=AH\cap (P)\Rightarrow H(0;0;-1)\Rightarrow AH=\sqrt{6}$

Đường thẳng $BK$ đi qua $B$ và nhận $\vec{n}$ làm VTCP nên $BK:\frac{x-3\sqrt{3}}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{1}$

Do $K=BK\cap (P)\Rightarrow K\left(\sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3}-1\right)\Rightarrow BK=3\sqrt{2}$ và $HK=3$

Đặt $MK=x>0$. Khi đó $MH\le MK+HK=3+x$.

Ta có $T=-MA+7MB=-\sqrt{6+M{H}^2}+7\sqrt{18+M{K}^2}$

$\Rightarrow T\ge -\sqrt{6+(3+x{)}^2}+7\sqrt{18+x^2}=7\sqrt{18+x^2}-\sqrt{x^2+6x+15}$

Xét hàm $f(x)=7\sqrt{18+x^2}-\sqrt{x^2+6x+15}$ trên $(0;+\infty )$; $f^{\prime }(x)=\frac{7x}{\sqrt{18+x^2}}-\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+15}}$

$f^{\prime }(x)=0\iff (2x-1)\left(4x^3+26x^2+72x+27\right)=0\iff x=\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên



Từ bảng biến thiên, suy ra $T_{\min }=\underset{(0;+\infty )}{\min }f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=3\sqrt{73}=a\sqrt{b}\Rightarrow Q=2a+7b+2025=2542$.