Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-3=0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ là

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;2)$, $B(3;-2;0)$. Một vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=6$ và $u_2=-12$. Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho là

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{3x}<27$ là:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí $X$ với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí $X$ thì nó xuất hiện ở vị trí $Y$. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí $X$ và $Y$. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ hoặc $Y$ thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Nếu máy bay xuất hiện tại $X$ thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại $Y$ thì bắn 1 quả tên lửa. Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Gọi $A$ là biến cố máy bay chiến đấu của đối phương xuất hiện ở vị trí $X$. Gọi $B$ là biến cố bắn hạ máy bay đối phương.

Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc $v(t)=m\cos \left(\pi t\right)+n$ (đơn vị: m/s) trong đó $t$ (giây) là biến thời gian và $m,n$ là các hằng số, có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M(3;0;2)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $C^{\prime }(6;8;4)$. Khi đó:

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^2-3x}{e^x}$.

Câu 1. Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ với đơn vị tương ứng 1 km, nếu hòn đảo ở vị trí gốc tọa độ $O$ thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+6}{x}$, với $x<0$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Quan sát hai hàng hoá thịt lợn và gạo người ta nhận thấy trong mỗi ngày giao dịch, nếu gạo không giảm giá thì thịt lợn giảm giá với xác suất $\frac{2}{5}$. Ngược lại, nếu thịt lợn không giảm giá thì gạo giảm giá với xác suất $\frac{4}{7}$. Hơn nữa, xác suất để cả thịt lợn và gạo giảm giá trong cùng một ngày là $0,1$. Biết xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một ngày giao dịch là $\frac{m}{n}$ $(m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản $)$, tính giá trị biểu thức $T=5m+9n$

Câu 3. Một doanh nghiệp Việt Nam sản xuất một loại sản phẩm để xuất khẩu vào thị trường Mỹ. Giả sử khi sản xuất được $x$ sản phẩm $(x>0)$, số tiền chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $F(x)=5000-58x+x^2$ (USD) và bộ phận nghiên cứu thị trường chỉ ra số sản phẩm bán ra phụ thuộc vào giá bán theo hàm cầu $x(t)=290-5t$ $(0<t<58)$. Trong đó t (USD) là giá bán mỗi sản phẩm và x(t) là số lượng sản phẩm bán được khi định giá ở mức t. Chính phủ Mỹ áp mức thuế $20\%$ trên tổng doanh thu của công ty. Hỏi công ty phải bán giá sản phẩm là bao nhiêu USD để doanh nghiệp thu được nhiều lợi nhuận nhất.

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và hai điểm $A(2;-1;0)$, $B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}$ $(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị $Q=2a+7b+2025$

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 6. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên).

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch là $\frac{m}{n}$ (đơn vị $c{m}^2$, $m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản $)$, tính giá trị biểu thức $T=2m+n$