Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M(3;0;2)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $C^{\prime }(6;8;4)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;8;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$, $C^{\prime }(6;8;4)$.
a) Sai. Với $N(0;0;z)$, $z\in [0;4]$: $f(z)=\sqrt{9+(z-2{)}^2}+\sqrt{16+(z-4{)}^2}$. Giải $f^{\prime }(z)=0$ được $z=\frac{20}{7}$, khi đó $f_{\min }=\sqrt{53}\approx 7,28<\sqrt{54}\approx 7,35$. (Cách ảnh: quay $P$ về mặt phẳng $Oxz$ thành $(4;0;4)$, phản xạ $M$ qua mặt phẳng chứa trục $A{A}^{\prime }$, độ dài đường thẳng $=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$.)
b) Sai. $\overrightarrow{B^{\prime }P}=(-6;4;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;8;-4)$ nên $\vec{n}=\overrightarrow{B^{\prime }P}\times \overrightarrow{B^{\prime }C}=(-16;-24;-48)\parallel (2;3;6)$. Vectơ $(2;-3;6)$ có $\vec{n}\cdot (2;-3;6)=4-9+36=31\ne 0$, không là pháp tuyến của $(B^{\prime }PC)$.
c) Đúng. Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime })$ là $y=0$, mà $M(3;0;2)$ có $y=0$ nên $M\in (AB{B}^{\prime })$.
d) Đúng. $P$ là trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A^{\prime }(0;0;4)$, $D^{\prime }(0;8;4)$ nên $P(0;4;4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài tối thiểu là $\sqrt{53}$ (tại $N(0;0;20/7)$), không phải $\sqrt{54}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(B^{\prime }PC)$ là $(2;3;6)$; $(2;-3;6)$ không vuông góc với hai vectơ chỉ phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(AB{B}^{\prime })$: $y=0$, $M(3;0;2)$ thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $A^{\prime }(0;0;4)$ và $D^{\prime }(0;8;4)$ là $P(0;4;4)$.