Cho $0<a<1<b$ và đặt $S={\log }_{a}b+{\log }_a^{2}b+\dots +{\log }_a^{2018}b$, $P={\log }_a^{2017}b$. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau khi nói về phương trình $x^2+2Sx+P=0$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $0<a<1<b$ nên $t<0$. Ta có $S=t+t^2+\dots +t^{2018}$, $P=t^{2017}$. Theo Vi-ét, tích hai nghiệm của $x^2+2Sx+P=0$ là $P=t^{2017}<0$ (vì 2017 lẻ), nên hai nghiệm trái dấu. Biệt thức $\Delta =4(S^2-P)=4(S^2+|t{|}^{2017})>0$ (kể cả khi $t=-1$ khiến $S=0$, khi đó $\Delta =4>0$), nên phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu. Vậy: a) sai (nghiệm trái dấu, không phải cùng âm); b) sai ($\Delta >0$); c) đúng; d) sai (nghiệm trái dấu, không phải cùng dương).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai nghiệm $P=t^{2017}<0$ nên hai nghiệm trái dấu, không thể cùng âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =4(S^2-P)=4(S^2+|t{|}^{2017})>0$ nên không có nghiệm kép.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai nghiệm $P=t^{2017}<0$ và $\Delta >0$ nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai nghiệm âm nên hai nghiệm trái dấu, không thể cùng dương.