Cho ba điểm $A(-1;1),B(2;1),C(-1;-3)$.

a) Chứng minh $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$. Tích có hướng $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=3\cdot (-4)-0\cdot 0=-12\ne 0$ nên hai vectơ không cùng phương, tức $A,B,C$ không thẳng hàng, là ba đỉnh của một tam giác. (Cách khác: $A$ và $C$ có cùng hoành độ $x=-1$ nên $AC$ song song trục tung; $A$ và $B$ có cùng tung độ $y=1$ nên $AB$ song song trục hoành; hai đường thẳng này cắt nhau tại $A$ và không trùng nhau, nên ba điểm không thẳng hàng.)

b) Độ dài các cạnh:
$AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{9}=3$;
$AC=\sqrt{(-1+1{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16}=4$;
$BC=\sqrt{(-1-2{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Chu vi: $P=AB+AC+BC=3+4+5=12$.

Vì $AB\cap AC$ tại $A$ và $AB\perp AC$ (tam giác vuông tại $A$ theo định lý Pythagore đảo: $3^2+4^2=5^2$), diện tích:
$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$.

Kiểm tra bằng công thức diện tích qua tọa độ: $S=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|=\frac{1}{2}\cdot 12=6$. Đúng.