Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:x-y-2=0$, $d_2:2x+y-4=0$ và điểm $M(-3;4)$. Gọi $\Delta :ax+by+5=0$ là đường thẳng đi qua $M$ và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $\overrightarrow{MA}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}$. Tính giá trị biểu thức $T=2a-3b$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $Delta$ qua $M(-3;4)$ với vecto chỉ phương $(p;q)$: điểm trên đường thẳng có dạng $(-3+tp;4+tq)$.
- Giao với $d_1$: $x-y-2=0$ tại $M$ cho $$\begin{gathered} -9+t(p-q)=0 \\ Rightarrow{t}_A= \\ dfrac9p-q \end{gathered}$$.
- Giao với $d_2$: $2x+y-4=0$ tại $M$ cho $$\begin{gathered} -6+t(2p+q)=0 \\ Rightarrow{t}_B= \\ dfrac62p+q \end{gathered}$$.
Điều kiện $$\begin{gathered} overrightarrowMA= \\ dfrac32 \\ overrightarrowMB \end{gathered}$$ nghĩa là $$\begin{gathered} t_A= \\ dfrac32t_B \end{gathered}$$: $$\begin{gathered} dfrac9p-q= \\ dfrac92p+q \\ Rightarrowp-q=2p+q \\ Rightarrowp=-2q \end{gathered}$$.
Chọn $q=1,p=-2$: phương trình $Delta$: $$\begin{gathered} -2(x+3)+(y-4)=0 \\ Leftrightarrow2x-y+10=0 \end{gathered}$$.
Chuyển về dạng $ax+by+5=0$: chia 2: $$\begin{gathered} x- \\ dfrac12y+5=0 \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} a=1,b=- \\ dfrac12 \end{gathered}$$.
Kiểm tra: $M(-3;4)$: $-3-2+5=0$ ✓; $A$: giao với $d_1$ là $(3;1)$, $overrightarrowMA=(6;-3)$; $B$: giao với $d_2$ là $(1;2)$, $overrightarrowMB=(4;-2)$, đúng $$\begin{gathered} overrightarrowMA= \\ dfrac32 \\ overrightarrowMB \end{gathered}$$ ✓.
$$\begin{gathered} T=2a-3b=2+ \\ dfrac32= \\ dfrac72 \end{gathered}$$.