Rút gọn $B=\frac{P_{n+2}}{A_n^k.P_{n-k}}+\frac{C_{15}^5+2C_{15}^6+C_{15}^7}{C_{17}^7}$;

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A_n^k.P_{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!}.(n-k)!=n!$, nên $\frac{P_{n+2}}{A_n^k.P_{n-k}}=\frac{(n+2)!}{n!}=(n+1)(n+2)$.

Vế thứ hai: dùng Pascal $C_{15}^5+C_{15}^6=C_{16}^6$ và $C_{15}^6+C_{15}^7=C_{16}^7$, nên $C_{15}^5+2C_{15}^6+C_{15}^7=C_{16}^6+C_{16}^7=C_{17}^7$. Do đó phân số thứ hai bằng $\frac{C_{17}^7}{C_{17}^7}=1$.

Vậy $B=(n+1)(n+2)+1=n^2+3n+3$.