Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$ (vì $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$).

a) Đúng. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{14}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=-x-6$.

b) Đúng. Đồ thị $y=ax+b+\frac{c}{x-x_0}$ có tâm đối xứng là giao của tiệm cận xiên và tiệm cận đứng: $x=3$, $y=-3-6=-9$, tức $I(3;-9)$.

c) Đúng. $y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff (x-3{)}^2=14\iff x=3\pm \sqrt{14}$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1=3-\sqrt{14}\approx -0,74<0$ và $x_2=3+\sqrt{14}\approx 6,74>0$, nằm về hai phía đối với trục $Oy$.

d) Đúng. Đặt $t=x_0-3$, khi đó $x_0=t+3$ và $y_0=-t-9-\frac{14}{t}$. Để $x_0,y_0$ nguyên cần $t\mid 14$, tức $t\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\}$. Tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$ có hệ số góc $m=-1+\frac{14}{t^2}$, $b=y_0-m{x}_0=-6-\frac{28}{t}-\frac{42}{t^2}$, diện tích tam giác tạo với hai trục là $S=\frac{b^2}{2|m|}$. Kiểm tra:
- $t=-2$: $M(1;0)$, $m=2,5$, $b=-2,5$, $S=1,25<2$ (thỏa mãn);
- $t=-7$: $M(-4;0)$, $m=-\frac{1}{7}$, $b=-\frac{4}{7}$, $S=\frac{8}{7}\approx 1,14<2$ (thỏa mãn);
- $t=1$: $S\approx 222$; $t=-1$: $S\approx 15,4$; $t=2$: $S=186,05$; $t=7$: $S\approx 961$; $t=14$: $S\approx 36,3$; $t=-14$: $S\approx 9,56$ — không thỏa mãn.

Vậy có đúng 2 điểm $M(1;0)$ và $M(-4;0)$ thỏa mãn, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x-6-\frac{14}{x-3}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $\frac{14}{x-3}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên $y=-x-6$ và tiệm cận đứng $x=3$: $I(3;-9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff x=3\pm \sqrt{14}$; hai hoành độ $\approx -0,74$ và $\approx 6,74$ trái dấu nên hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục $Oy$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x_0-3$, $x_0=t+3$ nguyên và $y_0=-t-9-\frac{14}{t}$ nguyên khi $t\mid 14$, tức $t\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\}$. Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $m=-1+\frac{14}{t^2}$ và $b=y_0-m{x}_0=-6-\frac{28}{t}-\frac{42}{t^2}$; diện tích tam giác tạo với hai trục là $S=\frac{b^2}{2|m|}$.
- $t=-2$: $M(1;0)$, $m=\frac{5}{2}$, $b=-\frac{5}{2}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{5}{2}=1,25<2$ (thỏa mãn);
- $t=-7$: $M(-4;0)$, $m=-\frac{1}{7}$, $b=-\frac{4}{7}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{4}{7}=\frac{8}{7}\approx 1,14<2$ (thỏa mãn);
- $t=1$: $S=\frac{76^2}{26}\approx 222$; $t=-1$: $S=\frac{400}{26}\approx 15,4$; $t=2$: $S=\frac{30,5^2}{5}=186,05$; $t=7$: $S=\frac{(116/7{)}^2}{2/7}=\frac{13456}{14}\approx 961$; $t=14$: $S\approx 36,3$; $t=-14$: $S\approx 9,56$ — đều $\ge 2$.

Vậy có đúng 2 điểm $M(1;0)$ và $M(-4;0)$ thỏa mãn, ý d đúng.