Đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ (kết quả quy tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ (đều thuộc tập xác định, và dấu của $y^{\prime }$ đổi qua mỗi nghiệm nên cả hai là điểm cực trị). Với $x=0$: $y=0$, điểm $A(0;0)$. Với $x=-2$: $y=\frac{4}{-1}=-4$, điểm $B(-2;-4)$. Độ dài $AB=\sqrt{(-2-0{)}^2+(-4-0{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47$.