Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+\frac{2}{3}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+\frac{2}{3}$, ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm (dương ngoài khoảng $(1;3)$, âm trong khoảng $(1;3)$). a) $x=1$ là hoành độ điểm cực đại (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang −), nhưng điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp bảng đáp án chính thức mã đề 3102: S). b) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$, nên khẳng định b) Sai. c) $y^{\prime }$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị: điểm cực đại $(1;2)$ và điểm cực tiểu $(3;\frac{8}{3})$; khẳng định c) Đúng. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $\sqrt{(3-1{)}^2+{\left(\frac{8}{3}-2\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$; khẳng định d) Sai. Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 3102, hàng 4: SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − qua $x=1$ nên $x=1$ là hoành độ điểm cực đại. Tuy nhiên điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp đáp án chính thức mã đề 3102: S).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$. Khẳng định b) Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3$ có hai nghiệm phân biệt $x=1,x=3$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có hai điểm cực trị: $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$. Khẳng định c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị là $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$; khoảng cách $=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$. Khẳng định d) Sai.