Ta xác định được các số $a,b,c$ để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $(1;0)$ và có điểm cực trị $(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=a^2+b^2+c^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua $(1;0)$: $1+a+b+c=0$. Điểm cực trị $(-2;0)$: $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$ nên $y^{\prime }(-2)=12-4a+b=0$, và $y(-2)=-8+4a-2b+c=0$. Trừ phương trình $y(-2)=0$ cho $y(1)=0$: $-9+3a-3b=0\Rightarrow a-b=3$. Kết hợp $b=4a-12$: $a-4a+12=3\Rightarrow a=3$, $b=0$, $c=-4$. Khi đó $T=a^2+b^2+c^2=9+0+16=25$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, Câu 1 = 25).