Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$, $SA=2a$, $AB=a$. Gọi $H$ là trực tâm của $△SBC$ (tham khảo hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều: $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$.
a) Sai: $BD\parallel AC$ nên $(BD;SA)=(AC;SA)$, $\cos =\frac{OA}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, góc $\approx 69,3^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
b) Sai: $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD}$, thiếu hệ số $\frac{1}{3}$.
c) Đúng: $BC\perp AC$ và $BC\perp SO$ nên $BC\perp (SAC)$, suy ra $(SBC)\perp (SAC)$. Tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên trực tâm $H$ nằm trên trục đối xứng $SO\subset (SAC)$, do đó $(SOH)=(SAC)$ và $(SBC)\perp (SOH)$.
d) Đúng: Tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)$. Kiểm tra VTPT của $(SCD)$: $\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}\parallel (0,\sqrt{14},1)$, phương trình $\sqrt{14}y+z=\sqrt{14}a$. Vì $AB\parallel (SCD)$, $d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=\frac{\sqrt{14}a}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{210}}{15}a$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (AC,SA)=\frac{OA}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, góc $\approx 69,3^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Công thức đúng là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BC\perp (SAC)$ nên $(SBC)\perp (SAC)$; $H\in SO\subset (SAC)$ nên $(SOH)=(SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt phẳng $(SCD)$: $\sqrt{14}y+z=\sqrt{14}a$, khoảng cách từ $A$ là $\frac{\sqrt{14}a}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{210}}{15}a$.