Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$; cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SB=a$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SH=3HC$; lấy $I,K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và $BC$.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $IK$.
b) Chứng minh cạnh $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AHK)$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $B(0,0,0)$, $C(a,0,0)$, $A\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $S(0,0,a)$ (vì $SB\perp (ABC)$, $SB=a$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$).

a) $I,K$ là trung điểm $AC,BC$ nên $IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $IK\parallel AB$. Vậy góc giữa $SA$ và $IK$ bằng góc giữa $SA$ và $AB$.
$\overrightarrow{SA}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},-a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+0=-a^2$; $|\overrightarrow{SA}|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+a^2}=a\sqrt{2}$; $|\overrightarrow{AB}|=a$.
$\cos (\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB})=\frac{|-a^2|}{a\sqrt{2}\cdot a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $IK$ bằng $45^{\circ }$.

b) Vì $SH=3HC$ nên $\overrightarrow{SH}=\frac{3}{4}\overrightarrow{SC}$, tức $H=S+\frac{3}{4}(C-S)=\left(\frac{3a}{4},0,\frac{a}{4}\right)$; $K$ trung điểm $BC$ nên $K=\left(\frac{a}{2},0,0\right)$.
$\overrightarrow{HK}=\left(-\frac{a}{4},0,-\frac{a}{4}\right)$, $\overrightarrow{SC}=(a,0,-a)$: $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{HK}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=0$ nên $SC\perp HK$.
$\overrightarrow{AH}=\left(\frac{a}{4},-\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a}{4}\right)$: $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AH}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=0$ nên $SC\perp AH$.
Vì $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $HK$ và $AH$ nằm trong mặt phẳng $(AHK)$ nên $SC\perp (AHK)$. Đpcm.