Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Gọi $d=(SAB)\cap (SCD)$, góc nhị diện $\left[A,d,C\right]$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S(0,0,a)$. Vì $AB\parallel CD$ nên $(SAB)\cap (SCD)=d$ là đường thẳng qua $S$ song song $AB$: $d$ có phương trình $(t,0,a)$. Mặt phẳng $(SAB)$ là $y=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,1,0)$. Mặt phẳng $(SCD)$ chứa $\overrightarrow{DC}=(a,0,0)$ và $\overrightarrow{DS}=(0,-a,a)$ nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0,-a^2,-a^2)\sim (0,1,1)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc nhị diện $[A,d,C]=45^{\circ }$.